Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Sistema Resorte Masa

1. Movimiento libre no amortiguado

* Conceptos Teóricos

Ley de Hooke

Supongamos que, una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.


Según la leyde Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta ala
dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto,
F = kx, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte.

Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su número k; porejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft.

Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte 2/5 de pie.

Segunda ley de Newton

Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza derestauración ks. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente.

Como se aprecia en la figura 5.2(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendoque no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además,podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos.



Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado

Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2xldt 2 +(k/m)x = 0, 0 sea:

Donde w2 = k/m. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple omovimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iníciales obvias asociadas con (2) son x(O) = α, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) =β, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si α > 0, β < 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si α < 0, β = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado α unidadesarriba de la posición de equilibrio, etcétera.

Ejemplo Interpretación de un problema de valor inicial

Resuelva e interprete el problema de valor inicial

SOLUCIÓN El problema equivale a tirar hacia abajo .una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que
t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante.

Como x’(t) = -40 sen4t + 4C2 cos 4t, entonces x’ (0) = 0 = 4C2 . 1, así que C2 = 0; por consiguiente, la ecuación del movimiento es x(t) = 10 cos 4t. Está claro que la solución indica que el sistema permanece en movimiento una vez puesto en movimiento y la masa va y viene 10 unidades a cada lado de la posición de equilibrio x = 0.

Ejemplo 2 Movimiento libre no amortiguado






2. Movimientoamortiguado libre

El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento.
A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. La masa podría estar suspendida en un medio viscoso o...