Aplicaciones De Las Ecuaciones Diferenciales

Aplicaciones de las
Ecuaciones Diferenciales

Gloria Aguilar
Natalia Boal
Carmelo Clavero
Francisco Gaspar
Departamento de Matem´tica Aplicada
a
Universidad de Zaragoza
1

Selecci´n de ejemplos obtenidos de los libros de Nagle-Saff, Braun, Finzio-Ladas, Campbell,
o
entre otros.

Trayectorias ortogonales
1. En ingenier´ se presenta a menudo el problema geom´trico de encontrar unafamilia de curvas
ıa
e
(trayectorias ortogonales) que intersequen ortogonalmente en cada punto a una familia dada
de curvas. Por ejemplo, es posible que se den las l´
ıneas de fuerza y se pida obtener la ecuaci´n de
o
las l´
ıneas equipotenciales. Consideremos la familia de curvas descrita por la ecuaci´n F (x, y ) = k ,
o
donde k es un par´metro real.
a
i) Usando diferenciaci´n impl´o
ıcita, demuestra que, para cada curva de la familia, la pendiente
est´ dada por
a
∂F
dy
= − ∂x .
∂F
dx
∂y
ii) Usando que la pendiente de una curva ortogonal (perpendicular) a una curva es la inversa
de la pendiente de la curva dada, demuestra que las curvas ortogonales a la familia F (x, y ) = k
satisfacen la ecuaci´n diferencial
o
∂F
∂F
(x, y )dx −
(x, y )dy = 0.
∂y
∂x
iii)Utilizando la ecuaci´n diferencial precedente, demuestra que las trayectorias ortogonales
o
de la familia de circunferencias x2 + y 2 = k son rectas que pasan por el origen.
2. Usa el m´todo del problema anterior para encontrar las trayectorias ortogonales de cada
e
familia de curvas dada. Dibuja conjuntamente la familia de curvas y sus trayectorias ortogonales.
i) xy = k,

ii) 2x2 + y 2= k,

iii) x2 − y 2 = k.

Problemas de mezclas
3. En los problemas de mezclas se quiere calcular la cantidad de una sustancia, x(t), que hay
en un tanque en cada instante de tiempo t. Usando que la derivada de x respecto a t expresa la
raz´n de cambio de la sustancia presente en el tanque, se cumple la relaci´n
o
o
dx
= velocidad de entrada - velocidad de salida .
dt
Dada la velocidada la que un fluido que contiene la sustancia entra en el tanque y la concentraci´n de la sustancia, se cumple la relaci´n
o
o
velocidad de flujo entrante × concentraci´n = velocidad de entrada .
o
Suponiendo que la concentraci´n de la sustancia es uniforme, para calcular la concentraci´n se
o
o
divide x(t) por el volumen de la mezcla que hay en el instante t. As´
ı,
velocidad de flujosaliente × concentraci´n = velocidad de salida .
o
Por ejemplo, en un tanque de 1000 l (litros) una soluci´n salada de salmuera empieza a fluir a
o
velocidad constante de 6 l/min. La soluci´n se mantiene bien agitada y fluye hacia el exterior
o
con velocidad de 6 l/min. Sabiendo que la concentraci´n de salmuera que entra es de 1 Kg/l,
o
2

calcula cu´ndo la concentraci´n de sal ser´ de 1/2Kg/l. Si la velocidad de salida es 5 l/min,
a
o
a
determina la concentraci´n de sal en funci´n del tiempo.
o
o
4. La corriente sangu´
ınea lleva un medicamento hacia el interior de un ´rgano a raz´n de
o
o
3cm3 /seg y sale de ´l a la misma velocidad. Se sabe que el volumen del ´rgano es 125 cm3
e
o
y la concentraci´n del medicamento que entra es de 0.2 g/cm3 . ¿Cu´l es la concentraci´ndel
o
a
o
medicamento en el ´rgano si inicialmente no hab´ vestigio alguno del medicamento? ¿Cu´ndo
o
ıa
a
la concentraci´n ser´ de 0.1 g/cm3 ?
o
a
5. El agua del r´ Aguadulce fluye hacia el lago Magdalena a raz´n de 300 gal/min (1 gal´n
ıo
o
o
es una medida inglesa de capacidad que equivale a 4.5459 litros; en Estados Unidos equivale a
3.7853 litros). El lago Magdalena contieneaproximadamente 100 millones de galones de agua.
La fumigaci´n de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentraci´n de plaguicidas en
o
o
el lago llegue a ser de 35 partes por mill´n. Si se suspende la aplicaci´n de plaguicidas, ¿cu´nto
o
o
a
tiempo transcurrir´ antes de que la concentraci´n de los mismos en el lago est´ por debajo de
a
o
e
10 partes por mill´n? (Se supone que...