Aplicaciones De Las EDO 2015

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

A. Trayectorias Ortogonales:
La primera aplicación que veremos es la de resolver el problema de hallar las trayectorias ortogonales.






Ejemplo: determine la familia de curvas ortogonales a la familia de circunferencias
, donde c es una constante real.
Solución

1. Derivamos la curva respecto a x,
2. Despejamos la derivada,
3. Laecuación diferencial de familias trayectorias es
4. Resolvemos esta ecuación para obtener la familia uniparamétrica de trayectorias ortogonales
cuya solución es y = c x







Cuando las curvas se intersectan en un ángulo distinto de π/2, las trayectorias se llaman isogonales, y la familia de curvas se encuentra con la ecuación diferencial


Práctica: determinela familia de curvas ortogonales a
a. La familia de curvas x2 + y2 = 2Cx
b. La familia de curvas r = cos 2θ
c. La familia de curvas y = Kx3
d. La familia de curvas y = x + Ce-x
e. La familia de parábolas y = Kx2
f. La familia de hipérbolas xy = K
B. Ley de enfriamiento y calentamiento de Newton

El problema de calentamiento en edificio depende de 3 preguntas
¿Cuánto tiempo tarda en cambiar latemperatura del edificio?
¿Cómo varía la temperatura del edificio en verano (uso de aire acondicionado)?
¿Cómo varía la temperatura del edificio en invierno (uso de calefactor)?
Cómo respuesta podemos señalar que la temperatura T(t) depende del calor generado por las personas H(t); el enfriamiento (calor) U(t); y la temperatura exterior M(t)
El modelo matemático de enfriamiento de Newton se basa en “la razón de cambio de la temperatura T de una sustancia es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia T y la temperatura del medio M”
Matemáticamente
Ejemplo:
Si la temperatura del aire es de 20º y una sustancia se enfría de 100º a 60º en 30 minutos, calculemos en que instante la temperatura de la sustancia será de 40º.
Solución
1. Establecemos lascondiciones del problema: T(0) = 100º; T(30) = 60º
2. Planteamos la ecuación diferencial y la resolvemos
cuya solución es T = 20 + Ce-kt
3. Aplicamos la condición inicial T(0)=100 para determinar que C = 80
4. La solución toma la forma T = 20 + 80e-kt. Ahora aplicamos la segunda condición para determinar el valor de k, es decir

5. Nuestro modelo es T = 20 + 80e-0.0231t. Reemplazando T=40 ,finalmente obtenemos que , de donde
6. Respuesta. La temperatura será de 40º al cabo de 60 minutos.

C. Aplicaciones a los circuitos eléctricos

El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, y una resistencia, la cual usa energía, tal como una bombilla eléctrica,tostador, u otro electrodoméstico.
Ejemplos los circuitos RL y RC

Experimentalmente las siguientes leyes de Kirchhoff se cumplen:

1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a
la corriente que pasa a través de la resistencia. Si E, es la caída de voltaje a través de una resistencia e I es la corriente, Entonces ER = Rl donde R es la constante de proporcionalidadllamada el coeficiente simplemente resistencia.

2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente. Si EL es la caída de voltaje a través del inductor, entonces donde L es la constante de proporcionalidad llamada simplemente la inductancia.
3. La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctricainstantánea en el condensador. Si EC es la caída de voltaje a través del condensador y Q la carga instantánea, entonces donde hemos tomado l/C como la constante de proporcionalidad, C se conoce como el coeficiente de capacitancia o simplemente capacitancia.


El siguiente es un enunciado de la ley de Kirchhoff:
La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico...