Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica

ALGUNAS APLICACIONES DE LA EXPONENCIAL
EL TESTAMENTO DE BENJAMÍN FRANKLIN
Entre otras cosas afirmaba en su testamento:
Nací en Boston, y debo mi inicial instrucción literaria a las escuelas públicas de primera enseñanza establecidas allí, por tanto, en mi testamento he tenido en cuenta a esas escuelas, ... Considero que, entre los artesanos, son los buenos aprendices los más idóneos parahacerse buenos ciudadanos ... Quiero ser útil incluso después de mi muerte, si ello es posible, para la formación y el progreso de otros jóvenes que puedan ser útiles a su país, tanto en Boston como en Filadelfia. A tal fin dedico dos mil libras esterlinas, de las cuales doy mil a los habitantes de la ciudad de Boston en Massachusets, y las otras mil a los habitantes de la ciudad de Filadelfia, enfidecomiso y para los usos, intereses y propósitos aquí mencionados y declarados.
Franklin tenía la idea de prestar dinero a jóvenes aprendices a un interés del 5% con la indicación de que cada beneficiario debería pagar cada año.
...junto con el interés anual, una décima parte de la principal, la suma de la principal y los intereses se prestará a nuevos beneficiarios. Si este plan se ejecuta yrealiza como se ha proyectado durante cien años sin interrupción, la suma será entonces de ciento treinta y una mil libras, de las cuales nombro administradores de la donación a los habitantes de la ciudad de Boston, que pueden gastar a su discreción cien mil libras en obras públicas, ... Las treinta y una mil libras restantes se pondrán a interés de la manera indicada anteriormente durante otroscien años... Al final de este segundo periodo, si ningún accidente desafortunado ha estorbado la operación, la suma será de cuatro millones sesenta y una mil libras.
Los prestatarios no fueron siempre tan numerosos como hubiese deseado Franklin. Al cabo de un siglo, en enero de 1894, el fondo había crecido hasta unas noventa mil libras, en lugar de las ciento treinta y una mil previstas.Supongamos que colocamos en un banco 30000 euros a un interés anual del 5%.
Al final del año nos ingresarán los intereses y tendremos = 30000 • 1'05 = 31500 euros.
Si le solicitamos al director que distribuya el 5% anual en dos pagos semestrales al 2'5%, lo que se llama interés compuesto semestral, ¿dará lo mismo?:
Al final del primer trimestre se nos ingresarán = 30000 • 1'025. Si no sacamos eldinero, al final del segundo semestre, tendremos la cantidad que teníamos al comienzo de este periodo multiplicada de nuevo por 1'025, es decir: = 30000 • 1'025 2 = 31518'75 . Hemos ganado 18'75 euros más.
Puestos a pedir, le solicitamos que el 5% anual de interés se reparta en doce pagos mensuales a un interés del 5/12 %. En cuyo caso, al final del año tendríamos un capital de = 31534'85694euros.
Como el capital está a disposición del banco todas los días del año, al menos teóricamente, se podría exigir que actualizara los intereses de día en día. El 5 % del interés anual habría que cambiarlo al 5/365 % diario. De esta forma, al final, tendríamos = 315380'2489 euros.
El no va más de las exigencias sería que, no sólo ya cada hora, sino que cada instante se actualizara el interés.Dicho de otro modo, que la actualización fuese continua. El problema es que el numero de instantes que tiene el año es infinito y sólo se nos ocurre aproximarnos a esa idea exigiendo la actualización segundo a segundo. Como el número de segundos que contiene el año es de 31536000, el resultado final sería de un capital de
= 315381' 3289003 euros, aproximadamente.
En la calculadora, con latecla ex, halla 300000 • e 0'05 y obtendrás un valor muy próximo al anterior.
La fórmula para el interés continuo es , donde C0 es el capital inicial, r es el interés dividido por 100 y t es el número de años que tenemos el capital invertido.
• ¿Qué tasa de interés compuesto, de manera continua durante cien años, habría dado lugar a las noventa mil libras del testamento de Franklin?
VELOCIDAD...