Aplicaciones De Las Integrales Anidadas
Páginas: 4 (890 palabras)
Publicado: 16 de mayo de 2012
Aplicaciones de las integrales anidadas
José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT
josanche@eafit.edu.co
Resumen
En este artículo se demuestra unapropiedad de las integrales iteradas y su aplicación |
Abstract
In this paper one demostrates to a property of the nested integrals and its applications. |
Palabras claves: Integralesiteradas, Transformada de Laplace
Keys words: Nested integrals, Laplace transforms,
Introducción
La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable encontraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si es una función continua definida en y , entonces
Parasu demostración ver (ver [G. Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usarála ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.
Propiedad S. Sea una función continua en el conjunto , sea .Entonces se tienela siguiente relación: |
Demostración.
La demostración la haremos por inducción.
Se tiene claramente para .
Veamos para en este caso deberá tener que
En efecto, usando integración porpartes, esto es, haciendo
Se encuentra, al usar el teorema fundamental de cálculo, que
Así que según la fórmula de integración por partes, tenemos:
La primera ecuación del lado derecho no es másque
O bien, al reemplazar en la última ecuación se tiene lo pedido, esto es (2).
Supongamos ahora que se cumple para y veamos que se cumple para el siguiente, esto es, para
Esto es, se tienela hipótesis de inducción:
y veamos que
En efecto,
Observar que la parte izquierda de la ecuación (3) puede escribirse en la forma:
de donde, al observar la forma de esa última...
José Albeiro Sánchez Cano
Departamento de Ciencias Básicas_ Universidad EAFIT
josanche@eafit.edu.co
Resumen
En este artículo se demuestra unapropiedad de las integrales iteradas y su aplicación |
Abstract
In this paper one demostrates to a property of the nested integrals and its applications. |
Palabras claves: Integralesiteradas, Transformada de Laplace
Keys words: Nested integrals, Laplace transforms,
Introducción
La integral anidada es una integral evaluada múltiple veces sobre una misma variable encontraste a las integrales múltiples, que consiste de un número de integrales evaluadas con respecto a variables diferentes. Más exactamente, si es una función continua definida en y , entonces
Parasu demostración ver (ver [G. Shilov]).
En particular, se resolverá el PVI (2) integrando repetidamente (n veces) la ecuación (2) y usando las condiciones iniciales dadas. En cada paso se usarála ecuación (1) para llegar a la solución general en forma cerrada, esto es, la obtención de una formula.
Propiedad S. Sea una función continua en el conjunto , sea .Entonces se tienela siguiente relación: |
Demostración.
La demostración la haremos por inducción.
Se tiene claramente para .
Veamos para en este caso deberá tener que
En efecto, usando integración porpartes, esto es, haciendo
Se encuentra, al usar el teorema fundamental de cálculo, que
Así que según la fórmula de integración por partes, tenemos:
La primera ecuación del lado derecho no es másque
O bien, al reemplazar en la última ecuación se tiene lo pedido, esto es (2).
Supongamos ahora que se cumple para y veamos que se cumple para el siguiente, esto es, para
Esto es, se tienela hipótesis de inducción:
y veamos que
En efecto,
Observar que la parte izquierda de la ecuación (3) puede escribirse en la forma:
de donde, al observar la forma de esa última...
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