Aplicaciones De Las Integrales En Estadistica

AYUDANTÍA

GUÍA DE TRABAJO 01
(APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LAS PROBABILIDADES Y VARIABLES ALEATORIAS)
Si es un evento, esto es, un conjunto de posibles resultados, entonces denotaremos la probabilidad de por . Las probabilidades deben satisfacer las siguientes propiedades: Para todo evento , . Si es el conjunto de todos los resultados posibles, denominado Especio Muestral, entonces . Silos eventos y son disjuntos, es decir, no tienen resultados asociados, . En el caso de que no sean disjuntos, entonces entonces . Ahora bien, una regla que asigna un valor numérico al resultado de un experimento se denomina variable aleatoria. Es costumbre utilizar letras mayúsculas para denotar las variables aleatorias y letras minúsculas para la asignación de valores posibles para la V.A.

Porejemplo:
Supongamos que el experimento es el lanzamiento de tres monedas balanceadas. Entonces el espacio muestral del experimento será el siguiente conjunto:
Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3 C C C C S S S S C C S S C C S S C S C S C S C S

Es decir Ω = {CCC , CCS , CSC , CSS , SCC , SCS , SSC , SSS } Pues bien, podríamos definir la variable aleatoria como el número de caras en tres lanzamientos. Ladistribución de probabilidad de , o sea, una lista de los posibles valores de X, junto con sus probabilidades correspondientes, se muestra en la siguiente tabla:

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Otro de los conceptos importantes en probabilidad es el de esperanza de una variable aleatoria, el cual,pasamos a definir a continuación: DEFINICIÓN: ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Si es una variable aleatoria con distribución de probabilidad

Entonces la esperanza de , denotada por y se denota con , es:

, que también se denomina medida de

µ = E ( X ) = x1 p1 + x2 p2 + ... + xn pn = ∑ xi pi
i =1

n

Lo anterior, nos indica los sucesos que ocurren con las variables aleatorias en dondeel número de valores posibles es finito, pero existen situaciones en que hay infinitas posibilidades de resultados. Si el conjunto de valores de una variable aleatoria X es finito como , o bien infinito como el conjunto , entonces se dice que la variable aleatoria es discreta. En cambio, si una variable aleatoria X puede tomar un valor cualesquiera en algún intervalo de números reales, entonces sedice que dicha variable es continua.

FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD
Para la variable aleatoria continua debemos especificar la función de densidad de probabilidad . Una para una variable aleatoria que toma valores en el intervalo es una función que satisface las siguientes condiciones: .
B

∫
A

f ( x) dx = 1
b

P(a ≤ X ≤ b) =∫ f ( x)dx para todo
a

en el intervalo

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La última propiedad enunciada nos indica que podemos determinar las probabilidades para una variable aleatoria continua determinando áreas bajo la FDP.

Es costumbre definir la FDP como cero fuera del intervalo El valor esperado o media de una variable aleatoria continuaFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA

.
b

es µ = E ( X ) =∫ x ⋅ f ( x)dx
a

Una función estrechamente relacionada con la FDP es la Función de Distribución Acumulada (FDA) que, para una variable aleatoria , es la función F definida por:

Esta función está definida para variable aleatoria discreta como continua. Para una variable aleatoria continua que toma valores en el intervalo y que tieneFDP , la FDA es igual a la integral definida:
x

F ( x) =∫ f (t )dt con A ≤ x ≤ B
A

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Para , la FDA es cero, ya que la probabilidad de que sea menor o igual a un , la FDA es uno, ya que la valor menor que es cero. De manera análoga, para probabilidad de que sea menor o...