Aplicaciones de las integrales

Aplicaciones de las integrales

Contenido


1. LONGITUD DE ARCO 1
Ejercicios 1.1 4
Respuestas a los ejercicios 1.1 5

2. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 5

2.1. Método de los discos 5

2.2. Método de las Arandelas 8

2.3. Método de las Capas Cilíndricas 12
Ejercicios 2.1 15
Respuestas a los ejercicios 2.1 15







LONGITUD DE ARCO


¿Qué se debeentender cuando se habla de longitud de una curva? Necesitamos una definición precisa para la longitud de un arco de curva.


Si la curva es un polígono formado por n segmentos de rectas, tal como el que se ve en la Figura Nº 1, es fácil calcular su longitud; basta con sumar las longitudes de todos los segmentos de recta que forman el polígono. Es decir:


L =(1 l +(2 l +(3 l +(4 l +(5 l +(6l +(7 l +(8 l


Para calcular la longitud (k l de cada segmento se puede usar la fórmula de distancia entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2) del plano cartesiano, es decir: [pic]


Para calcular la longitud aproximada de la curva y = f(x), desde el punto P(x1, y1) hasta el punto Q(x2, y2) (Ver Figura Nº 2), la curva será aproximada a un polígono formado por 7 segmentos de recta y se sumaranlas longitudes de los segmentos de recta que forman el polígono, es decir:


L =(1 L +(2 L +(3 L +(4 L +(5 L +(6 L +(7 L


Por lo tanto:


[pic]


Donde, cada (k L tiene una longitud:


[pic] (Ver Figura Nº 4)


Al observar la Figura Nº 3, se puede concluir que si se toma un polígono formado por una mayor cantidad de segmentos de recta, se obtendrá unamejor aproximación de la longitud del arco de la curva. Lo anterior significa que si se desea calcular la longitud exacta del arco de la curva y = f(x), desde el punto P(x1, y1) hasta el punto Q(x2, y2), será necesario aproximar la curva a un polígono formado por n segmentos de recta tal que la longitud del más grande de dichos segmentos se acerque a cero, es decir:


[pic]


Como [pic]entonces:


[pic]


Lo cual corresponde a una suma de Riemann y por lo tanto, se puede afirmar que:


[pic]


Teniendo en cuenta que en esta integral aparecen dos diferenciales, podemos usar las reglas del algebra y del cálculo para expresar la integral en términos de un único diferencial. Para lograr esto, multiplicamos y dividimos el integrando por dx, es decir:[pic][pic]


[pic]


[pic][pic]


La anterior es la fórmula que se utilizará para calcular la longitud del arco de la curva y = f(x), desde el punto P(x1, y1) hasta el punto Q(x2, y2)

Ejemplos

Ejemplo 1) Calcular la longitud de arco de la curva [pic]entre los puntos (1, 1) y (4, 8) (Ver Figura Nº 5)


Solución: Usando la la fórmula 4.1, y teniendo en cuenta que[pic], entonces:


[pic]


[pic]


Realizando la sustitución:


[pic]


Se tiene:


[pic]


Integrando y evaluando obtenemos:


[pic]


[pic]


Ejemplo 2) Calcular la longitud de arco de la curva g(x) = x – ½ x2, desde el origen hasta el punto (2, 2)


Solución: teniendo en cuenta que g’(x) = 1 – x, y usando la fórmula 4.1, seobtiene:


[pic]


Usando la sustitución trigonométrica:


1 – x = tan( ( –dx = sec2( d(


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]


Ejemplo 3) Calcular la longitud de arco de la curva h(x) = lnx, desde el punto (1, 0) hasta el punto (e2, 2) (Ver Figura Nº 7)


Solución: teniendo en cuenta que h’(x) = 1/ x, seobtiene:


[pic]


[pic]


[pic]


Usando la sustitución trigonométrica:


x = tan( ( dx = sec2( d(


se obtiene:


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]


Usando la sustitución algebraica:


u = sec( ( du = sec(.tan( d(


Se obtiene:


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]


[pic]...