Aplicaciones De Las E.D.O.

Ejemplo de mezclas químicas

1) Una corriente salina al 0,4 Kg/lt de concentración es inyectada a un tanque a razón de 5 lt/min, si el tanque contiene inicialmente 100 lt de agua salada al 0,02Kg/lt y la mezcla debidamente agitada se mantiene homogénea dentro del mismo y se retira por un desagüe con una rapidez de 7 lt/min, determine:
a) Tiempo de duración del proceso.
b) La ley devariación de la cantidad de soluto (X) presente en el tanque en función del tiempo.
c) Registro de la Cantidad de sal y la concentración de la solución en el tanque cada 10 minutos.
d) Cantidadmáxima y mínima de sal presente en el tanque.
e) Representar gráficamente la cantidad de sal presente en el tanque respecto al tiempo
x = x(t).
Solución:
Tiempo de duración del proceso:Es un proceso de vaciado, ya que Q2 > Q1, y conociendo que el volumen varía respecto al tiempo de acuerdo a la ecuación: [pic], sabiendo que al final del proceso el volumen es 0:
[pic] Tiempo devaciado.

La ley de variación de la cantidad de soluto (x) presente en el tanque en función del tiempo
La ecuación diferencial que describe el proceso es:
[pic]
Sustituyendo de acuerdo alproblema, se tiene:
[pic] O sea, [pic] E.D.O Lineal
Cuya solución proporciona la cantidad de soluto (x) en cualquier instante t, es decir, x = x(t).
Integrando la E.D.O: [pic]
La solucióngeneral viene dada por:
[pic]
Integrando y ordenando:
[pic] (I)
Para determinar el valor de la constante utilizamos las condiciones iniciales: t =0, V0 =100 Lt, C0 = 0.02 [pic] [pic]Sustituyendo en (I) se obtiene que: [pic], es decir la ley de variación de la cantidad de soluto (x) presente en el tanque en función del tiempo es:
[pic] (II)
Para determinar la cantidad máxima desoluto, [pic]. Por lo tanto derivando II e igualando a cero se tiene
[pic]
Despejando t se obtiene el tiempo crítico, en el cual se alcanza la máxima cantidad de soluto:
[pic]
Sustituyendo en II...