Aplicaciones de Series de Fourier

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha
Carlos Silva Cornejo
Emilio Villalobos Marín

Part I

Aplicacionesde la Serie Fourier
0.1

Problema 1. Onda cuadrada alta frecuencia

Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar
en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñadospara manejar
pulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un "diente
de sierra".Supongamos que una onda cuadrada está de…nida por la
función:

0;
0 para
las siguientes temperaturasiniciales dadas.

5

a) u(x; 0) = f (x) = 3senx + 5sen2x: ¿Que tipo de extensión de f (x)se
requiere en este caso?
b) u(x; 0) = f (x) = ex senx:¿Que tipo de extensión de f (x)se requiere
eneste caso?
Soluciones.

a)
t

u(x; t) = f (x) = 3senxe

+ 5sen2xe

4 t

b)
u(x; t) =

1
4 X

n=1

0.7

n
( 1)n
n2 + 4

1

e

1 sennx e

n2 t

Problema 6

Las series defourier se constituyen en una herramienta poderosa
en el análisis del comportamiento de los sistemas físicos sujetos a
pertubaciones periódicas f (t).
El valor de la raíz media cuadrática ó RMC deuna función f (t),
sobre un intervalo (a; b) ;se de…ne como:

hf (t)i =

s

Rb
a

f 2 (t) dt
b a

a) Sea f (t) una función de…nida x 2 [a; b] , con un período fundamental T = b a. Pruebeque aplicando la identidad de Parseval el
valor RMC se reduce a la formula:

6

v
u
1
u
1 X 2
[a + b2n ]
hf (t)i = ta20 +
2 n=1 n
b) Determine RMC de f (t) = E sen!t, con E y !constantes positivas.
Solución:
b) El período fundamental de la función f (t) = E sen!t, es
Entonces el valor RMC de f (t) es:

hf (t)i =

0.8

s

1
(2 =!)

Z

2
!

0

2
!

.

E
E 2sen2 (!t) dt = p
2

Problema 7.

Un resorte vibra libremente con ambos estremos …jos en x = 0 y x =
L:
a) Si su movimiento esta descrito por la ecuación de onda:
@ 2 u (x; t)
@ 2 u (x; t)...