aplicaciones de una derivada
1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA
La pendiente de la recta tangente a una función en un punto es el valor de la derivada de la función en ese punto , así la ecuaciónde la recta tangente a una curva en un punto es
2. INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA
Observa la gráfica siguiente y ten en cuenta la relación entre derivada en un punto y lapendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.
2.1. RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA
derivable y creciente en
derivable y decreciente enEjemplo:
es derivable en todo y su derivada es . La gráfica es
se observa que en la función es creciente (de hecho, es creciente en todo su dominio), luego la derivada en ese punto tendrá queser mayor o igual a 0. Efectivamente (
2.2. CRITERIO PARA IDENTIFICAR INTERVALOS CRECIENTES O DECRECIENTES
es creciente
es decreciente
2.3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS2.3.1. CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO
Si es derivable en , entonces
tiene un máximo o un mínimo en
Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir quela derivada en un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo , como en en el ejemplo .
2.3.2. REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO
Para saber si un puntosingular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.
Ejemplo:
Si calculamos su derivada y estudiamosel signo se tiene,
Luego podríamos decir que la función
crece en
decrece en
Así que hay un máximo relativo en y un mínimo relativo en como se observaba en la gráfica.
3.INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA SEGUNDA DERIVADA
Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un...
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