Aplicaciones deconjuntos

Conjuntos, Aplicaciones, Relaciones:
Conceptos primarios (sin definición): Conjuntos, elemento, pertenece
Teoría de conjuntos
Las reglas del juego (sin demostrar) se llaman axiomas.
Otros conceptos primarios: Objetos, flechas, composición Teoría de categorías
Notación:
a es un elemento de A a " A
a no es un elemento de A a " A
Definiciones:
A está contenido en (o es un subconjunto de )un conjunto B si todos los elementos de A son elementos de B A " B
A no está contenido en (o no es un subconjunto de ) un conjunto B si hay algún elemento de A que no está en B A " B
Axioma (del vacío) :
Existe un conjunto que no tiene elementos, lo llamamos conjunto vacío Ø
Teorema:
Si A y B son conjuntos que no tienen elementos, entonces A = B
- D -
A " B
Si demostramos que A " B esfalso, entonces A " B es cierto.
Como A no tiene elementos, no hay ningún elemento de A que no esté en B A " B
B " A
Si demostramos que B " A es falso, entonces B " A es cierto.
Como B no tiene elementos, no hay ningún elemento de B que no esté en A B " A
Conclusión A=B
Pregunta: ¿Es el vacío un elemento de todo conjunto?
NO, porque Ø " Ø ya que Ø no tiene elementos.
Teorema:
El vacío estácontenido en todo conjunto. Si A es cualquier conjunto entonces Ø " A
- D -
Reducción al absurdo
Suponemos que " un conjunto A tq. Ø no es subconjunto suyo "x " Ø tq. x " A "x " Ø (Absurdo)
Axioma (del par):
Si A y B son conjuntos, " un conjunto que tiene como elementos a A y a B, a este nuevo conjunto lo denotaremos {A,B}. Si cogemos A=B escribimos {A}
Ejemplillo :
A= Ø , hacemos un nuevoconjunto {Ø}, a su vez {{Ø}}, {Ø,{Ø}}
Ø " {Ø,{Ø}}
Ø " {{Ø}}
Ø " {{Ø}}
{a,b} " (a,b) porque (a,b) = {a,{a,b}} y b " (a,b)
nota: y a su vez (b,a) = {b,{b,a}}
Axioma: (de la unión)
Si A es un conjunto (cuyos elementos son conjuntos) " un conjunto U cuyos elementos están caracterizados por la siguiente propiedad: x " U si " a " A tq. x " a.
Ejercicio:
A = { Ø, {Ø} }
U= { Ø }
U= Ua Uniónde los elementos de A
a"A
Si A tiene dos elementos x,y U = x U y
Ejercicio:
Dar un conjunto con tres elementos.
A= { Ø , { Ø }} B={A}
AUB = { Ø , { Ø }, A}
Ø notación = 0
{Ø} = 1
{Ø,{Ø}} = 2 = {Ø,1} A estos conjuntos se les llama nºs naturales
{Ø,1,2} = 3 = 2 U {2}
{Ø,1,2,3} = 4 = 3 U {3}
Podemos dar un conjunto listando todos sus elementos (por extensión).
Axioma: (del infinito)Existe un conjunto N cuyos elementos son los nºs naturales.
Axioma: (de comprensión)
Si A es un conjunto y P es una propiedad referida a los elementos de A entonces " un conjunto cuyos elementos son los elementos de A que cumplen la propiedad P.
{x " A tq. x cumple P} y si P´ = ø P formamos otro {x " A tq. x cumple P´ } Así podemos dar un conjunto por comprensión.
Axioma: (de las partes)
SiA es un conjunto " un conjunto P(A) cuyos elementos son los subconjuntos de A. Si A tiene n elementos P(A) tiene 2 elementos.
Ejemplo:
A= {ø,{ø},{{ø}} }
P(A)= {ø, {ø} , {{ø}} , {{{ø}}} , {ø,{ø}} , {ø,{{ø}}} , {{ø},{{ø}}} , A}
Operaciones con conjuntos:
Unión:
x " A U B si x " A o x " B o x pertenece a A y a B
Intersección:
x " A " B si x " A y x " B
A " B = { x " A U B tq. x " A y x " B}= { x " A tq. x " B}ç
Diferencia conjuntista:
A \ B = { x " A tq. x " B}
2 \ 5 = 0
5 \ 2 = {2,3,4}
Producto cartesiano:
A x B es un conjunto con elementos los pares (a,b) tales que a " A y b " B
2 x 2 ={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} " 4
2 x 1 ={(0,0),(1,0)} " 2 1 x 2 = {(0,0),(0,1)} " 2
Aplicaciones:
Una aplicación f consiste de:
 Un conjunto ha llamado dominio de f.
 Un conjunto Bllamado codominio de f.
 Un conjunto Gf llamado gráfica de f que cumple que es un subconjunto de A x B, es decir Gf " A x B, " elemento x " A " un único elemento y " B tq. (x,y) " Gf.
Notación:
f
A ! B
f : A ! B
y = f(x) se llama imagen por la aplicación f de x
Igualdad de aplicaciones:
Mismo dominio, codominio y gráfica.
N ! N no es lo mismo que N ! Z
x ! x² x ! x²
Composición de...