Aplicaciones Del Calculo Diferencial

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES
EN INGENIERÍA QUÍMICA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
INGENIERÍA QUÍMICA
MANIZALES
2012
1. ECUACIONES DIFERENCIALES EN CINÉTICA QUÍMICA
Las reacciones químicas pueden denotarse por la ecuación estequiométrica:
a A + b B + · · · = p P + q Q + · · · (7.1)
Donde A y B son las sustancias que reaccionan para producir P y Q; los números a, b,p, q, hacen referencia a la cantidad de moles que reaccionan/se producen de cada sustancia, se les llama números estequiométricos.
La velocidad de reacción es la variación de la concentración divida por el correspondiente número estequiométrico.
Esta cantidad es la misma para cada sustancia y por lo tanto para una reacción general de la forma (7.1) tendríamos:
υ=-1ad[A]dt =-1bd[B]dt =1pd[P]dt=1qd[Q]dt =… (7.2)
El modelo más simple (acorde con la ley de acción de masas: la velocidad de reacción es
proporcional a las masas activa de las sustancias reaccionantes) es aquel en el que se supone que la velocidad de la reacción depende de la cantidad de los reactivos y no de los productos. Una reacción de este tipo la podemos representar como:
a A + b B + · · · → productos
En talescasos, la velocidad de reacción tiene la forma:
υ=k[A]α[B]β… (7.3)
Donde k es la constante de velocidad de la reacción y los números α, β, . . . definen el orden de la reacción. Teniendo en cuenta (7.2) y (7.3) la ecuación diferencial que describe una reacción de este tipo es:
υ=-d[A]dt =-d[B]dt =kA[B]
De forma que si llamamos x(t) a la concentración (en moles/litro) de [A] o [B] que hanreaccionado hasta el instante t y las concentraciones iniciales de A y B son [A]0 = a y [B]0 = b, resulta que [A] = (a − x(t)) y [B] = (b − x(t)).
En consecuencia:
υ=-d[A]dt =-d(a-x)dt =dxdt =ka-x(b-x)
Obteniendo de esta forma la ecuación diferencial
x'=ka-x(b-x)
* Ejemplo
Consideremos las siguientes reacciones irreversibles de segundo orden que se producen consecutivamenteen un reactor:
A + S K1 X
X + S K2 Y
Si inicialmente se añaden 2 moles de S y 1 mol de A. ¿Cuál es la fracción molar de X cuando ya ha sido consumida la mitad de A? Supóngase que k2/k1 = 2.
Solución
Denotemos [A], [S], [X] y [Y] las concentraciones molares de las sustancias presentes en las reacciones. De acuerdo con lo que acabamos de decir:
d[A]dt =-k1[A][S]d[Y]dt=k2[X][S]
d[X]dt =k1AS-k2XS
d[S]dt =-k1[A][S]-k2[X][S]
No es una ecuación diferencial, sino un sistema de 4 ecuaciones diferenciales de primer orden con cuatro funciones incógnitas: [A], [S], [X] y [Y]. Resolver este sistema sería encontrar expresiones para estas cuatro funciones (como funciones del tiempo t, que es la variable independiente). Ahora bien, no se nos piden estas expresiones,ni tan siquiera la expresión de [X]. Lo que se nos pide es la fracción molar de [X] cuando [A] = 12 moles. Es decir, se nos pide cuánto vale la fracción
XA+ S+ X+ Y (7.4)
Cuando [A] = 12. Si pudiéramos expresar la fracción (7.4) como una función de [A] podríamos
Conocer su valor cuando [A] = 12. Pero en realidad, [X] y [Y] son funciones que dependen de
[A] (y también de [S]).Podemos aplicar la regla de la cadena para escribir:
d[X]d[t] =d[A]dt d[X]d[A]
De modo que cuando d[A]dt ≠0 tenemos que
dXdA=dXdtdAdt
Utilizando el sistema de ecuaciones:
dXdA=dXdtdAdt =k1AS-k2XS-k1[A][S]= -1+k2Xk1[A]=-1+2X[A]
Observemos ahora que la variable independiente es [A] y la variable dependiente o función incógnita es [X]. Por lo tanto, es como si tuviéramos la ecuación:x'=-1+2tx x'-2tx=-1
Que es una ecuación lineal. Para esta ecuación la solución es
X=1F(A)FA-1dA+K
Donde
FA=e-2[A]d[A]=e-ln⁡[A]2=1A2
Sustituyendo e integrando obtenemos que
X=A21A+K=A+KA2
Para conocer el valor de la constante K, debemos imponer la condición inicial: para t = 0 nos dicen que [A] = 1 y [X] = 0. Así pues:
0=1+K∙1 K=-1
Y
X=A-A2
Para encontrar la expresión de [Y ] como función...