Aplicaciones derivadas Larsson

Aplicaciones
de la derivada
En este capítulo se discutirán diferentes
aplicaciones de la derivada de una fun­
ción. Estas aplicaciones se dividen en tres
categorías básicas: trazado de curvas, op­
timización y técnicas de aproximación.
En este capítulo, se aprenderá:
■ Cómo utilizar la derivada para loca­
lizar los valores máximos y míni­
mos de una función en un intervalo
cerrado. ( 3.1 )
■ Cómo un gran número de resultados
en este capítulo dependen de dos
importantes teoremas: el Teorema de
Rolle y el Teorema del valor medio.
( 3 .2 )
■ Cómo utilizar la primera derivada
para determinar si una función es
creciente o decreciente. ( 3 .3 )
■ Cómo emplear la segunda derivada
para determinar si la gráfica de una
función es cóncava hacia arriba o
cóncava hacia abajo. (3 .4 )
■ Cómo determinar las asíntotas hori­
zontales de la gráfica de una función.
( 3 .5 )
■ Cómo graficar una función con las
técnicas del capítulo P-3. ( 3 .6 )
■ Cómo resolver problemas de optimi­
zación. ( 3 .7 )
■ Cómo utilizar técnicas de aproxima­
ción para resolver problemas. ( 3.8 y
3.9 )

© E.J. Baum eister Jr./Alamy

Una nave pequeña inicia su descenso desde una altitudde 1 milla, 4 millas
I

al oeste de la pista de aterrizaje. Dada una función que modela la trayectoria
en la que planea el avión, ¿cuándo desciende el avión con la mayor razón de
cambio? (Ver la sección 3.4, ejercicio 75.)

En el ca p ítu lo 3 se usará el cá lcu lo para analizar gráficas de funciones. Por ejem plo, se puede usar la derivada de una
fu n ció n para determ inar sus valoresmáxim os y m ínim os. Se usarán lím ites para id e n tific a r las asíntotas de la gráfica
de una fu n ció n . En la sección 3 .6 se com binarán estas técn icas para trazar la gráfica de una fun ción .

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C A PÍTU LO 3

Aplicaciones de la derivada

Extremos en un intervalo
■ Entender la definición de extremos de una función en un intervalo.
■ Entender la definición de extremosrelativos de una función en un intervalo abierto.
■ Encontrar los extremos en un intervalo cerrado.

Extrem os de una función

y

En el cálculo, se dedica mucho esfuerzo para determinar el comportamiento de una función
f sobre un intervalo I. ¿ f tiene un valor máximo en I? ¿Tiene un valor mínimo? ¿Dónde es
creciente la función? ¿Dónde es decreciente? En este capítulo se verá cómo lasderivadas
se utilizan para responder estas preguntas. También por qué los planteamientos anteriores
son importantes en las aplicaciones de la vida real.

DEFINICIÓN DE EXTREMOS
Sea f definida sobre un intervalo I que contiene a c.
1.
2.

a) f es continua [- 1 2] es cerrado
,
y

f(c ) es el mínimo de f en I si f(c ) < f(x ) para toda x en I .
f (c) es el máximo de f en I si f(c ) > f(x )para toda x en I.

Los mínimos y máximos de una función en un intervalo son los valores extremos, o
simplemente extremos, de la función en el intervalo. El mínimo y el máximo de una
función en un intervalo también reciben el nombre de mínimo absoluto y máximo
absoluto en el intervalo.

Una función no siempre tiene un mínimo o un máximo en un intervalo. Por ejemplo,
en la figura 3.1a y b,es posible ver que la función f(x ) = x2 + 1 tiene tanto un mínimo
como un máximo en el intervalo cerrado [ —1, 2], pero no tiene un máximo en el intervalo
abierto (- 1 , 2). Además, en la figura 3.1c se observa que la continuidad (o la falta de la
misma) puede afectar a la existencia de un extremo en un intervalo. Esto sugiere el siguiente
teorema. (Aunque el teorema de los valores extremoses intuitivamente plausible, la prueba
del mismo no se encuentra dentro del objetivo de este libro.)
b)

f es continua (- 1 2) es abierto
,
y

TEOREMA 3 EL TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
.1
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene tanto un mínimo como
un máximo en el intervalo.

E X P L O R A C I Ó N

c) g no es continua [-1, 2] es cerrado.
Los extrem pueden...