Aplicaciones ecuaciones diferenciales

2010

Ecuaciones Diferenciales: Análisis de Circuitos Eléctricos
Modelos Matemáticos y Simulación

Raúl Aguilar Gutiérrez Universidad de León 16/05/2010

Introducción
De donde: La última década ha contemplado el desarrollo de un marco geométrico para el modelado, simulación y control de sistemas físicos; los conceptos de la teoría de redes tienen su origen en la ingeniería eléctrica, yconstituyen una piedra angular de la teoría matemática de sistemas. Los conceptos de la teoría de redes son predominantes cuando se trata de modelar y simular sistemas físicos complejos. Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, el tema de la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos, conocida como la ley de Kirchhoff.La teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. Así como las leyes de Newton son suficientes para el movimiento de los “objetos de diario”, la ley de Kirchhoff es ampliamente adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. Las dos leyes de Kirchhoff constituyen laparte topológica de la teoría de circuitos, en el sentido de que sólo dependen de cómo las ramas del circuito están comunicadas entre sí y no de los elementos contenidos en las ramas. Los elementos en las ramas pueden ser de cualquier tipo, incluyendo fuentes, elementos resistivos y elementos almacenadores de energía (condensadores e inductores), y pueden ser lineales o no. Las leyes de Kirchhoffestablecen unas relaciones entre voltajes y corrientes de manera que la energía se conserva en el proceso de intercambio de la misma entre las ramas del circuito.

�� ∝ �� �� �� ∝ �� E = IR Donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o, simplemente, resistencia. Las unidades, generalmente conocidas como “unidades prácticas” son tales que E está en voltios, Iestá en amperios y R en ohmios. La ecuación es de física elemental y están bajo el nombre de la ley de Ohm. Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que contienen otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la mismamanera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. De hecho la semejanza es bastante, y se podría decir mucho acerca de esto. Un condensador es un elemento que almacena energía. En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar cómo caída de voltaje, o como se llama comúnmente, caída de potencial o diferencia de potencial, por medio deun instrumento llamado voltímetro. Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen: 1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a través de la resistencia.

Si ER es la caída de voltaje a través de una resistencia e �� es la corriente, entonces: ���� ∝ �� ó ���� = ���� Donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente deresistencia. 2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente.

Ecuaciones diferenciales de primer orden para el análisis de los circuitos eléctricos
El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o generador, yuna resistencia, la cual usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico. En física elemental encontramos que la fem está relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantánea I (en un circuito que contiene sólo una fem E y una resistencia) es directamente proporcional a la fem. En símbolos:

Si EL es la...