Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales

Instituto Tecnológico de Costa Rica
Ecuaciones Diferenciales
MSc. Alcides Astorga Morales, Profesor

Escuela de Matemática
II Semestre de 2012

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1. Problemas de enfriamiento
La razón de cambio en el tiempo de la temperatura de un cuerpo es proporcional a la
diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del medio ambiente.Sea:
T:
temperatura del cuerpo
Tm: temperatura del medio ambiente
dT
: razón de cambio de la temperatura del cuerpo
dt

Entonces se tiene que:
dT
 k (T - Tm )
dt
donde k es una constante de proporcionalidad positiva.

2. Problema de crecimiento y decrecimiento
Si N(t) denota la cantidad de sustancia (o población) presente en un tiempo t determinado y si
la razón de cambio de estasustancia con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad de
sustancia presente, entonces se tiene que:
dN
 kN(t )
dt

donde:
dN(t )
: denota la razón de cambio de la sustancia
dt
k: denota la constante de proporcionalidad
3. Caída de cuerpos con resistencia del aire
Consideremos un cuerpo de masa m que cae verticalmente. En esta caída influye la gravedad
y existe una resistenciadel aire (la cual en muchos problemas se asume que es proporcional a
la velocidad del cuerpo). En este tipo de problemas, también se asume que tanto la gravedad
como la masa permanecen constantes. Además por conveniencia se asume que la dirección
hacia abajo es positiva.
Segunda ley de Newton: La fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es igual a la razón de
cambio en el tiempo del momentum, opara una masa constante:
dv
(1)
Fm
dt
1

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donde:
F: es la fuerza neta que se ejerce sobre el cuerpo
v: es la velocidad del cuerpo.
Para la situación considerada existen dos fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
a. La fuerza g de impulso,debida a la gravedad, la cual viene dada por el peso w del cuerpo,
y por lo tanto viene descrita por mg, o sea que w = mg.
b. La fuerza de resistencia debido al aire, dada por –kv, donde k  0, es la constante de
proporcionalidad
Como la fuerza neta F se descompone como: F = Fimpulso + Fresistencia se tiene que:
F = mg – kv

(2)

De acuerdo a (1) y (2) se tiene que:
dv
= mg – kv
m
dt(3)

La cual simplificada conduce a:
dv k
 vg
dt m

(Ecuación del movimiento)

Cuando no se conoce la masa del cuerpo, sino más bien su peso, entonces (3) se puede
expresar así:
w dv
(4)
 w - kv
g dt
Si la resistencia del aire es despreciable o no existe, entonces k = 0, y la ecuación del
movimiento se reduce a:
dv
g
dt
Notas:
a. En las ecuaciones anteriores se suponeque el sistema de medidas es el CGS (centímetros,
gramos, y segundos) aunque los resultados son válidos para el sistema PLS (pie, libra y
segundos) y para el sistema MKS( metro, kilogramo, segundo).
b. En el sistema CGS, la gravedad viene dada por g = 980cm/seg2.
En el sistema PLS, la gravedad viene dada por g = 32pies/seg2.
En el sistema MKS, la gravedad viene dada por g = 9,8 mts/seg2.

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4. Problemas de soluciones químicas
Considérese un tanque, el cual inicialmente contiene V0 galones de solución salina y a libras
netas de sal. Otra solución salina que contiene b libras de sal por galón, se vierte en el tanque
a razón de egalones por minuto, mientras que simultáneamente, la solución mezclada sale a
una razón de f galones por minuto.
Problema: Encontrar la cantidad de sal que hay en el tanque en cualquier instante.
Sea:
Q: cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo t.
dQ
: razón de cambio de Q con respecto al tiempo.
dt

V0 + et - ft: volumen de la solución salina en cualquier tiempo t.
fQ
: razón...