Aplicaciones Ecuaciones Diferenciales

CAPÍTULO

5
Aplicaciones de ED de segundo orden

5.2.1

Movimiento armónico simple
x0

k m

Sistema masa-resorte para el estudio de las vibraciones mecánicas

Para iniciar el estudio de las vibraciones mecánicas, analicemos una situación cotidiana y simple. Consideremos un cuerpo de masa m que está unido a una pared por medio de un resorte de constante k (sistema masa-resorte) elcual se encuentra sobre una mesa horizontal. Por simplicidad supongamos también que no existe fricción entre el cuerpo y la mesa y que el sistema se encuentra inicialmente en equilibrio. De repente, el resorte se comprime (o se elonga) una distancia pequeña x0 , medida desde la posición de equilibrio (ver figura anterior), y se le aplica una velocidad v0 . Desde ese momento, el resorte ejerce unafuerza sobre la masa que tiende a regresarla a su posición de equilibrio inicial. En general, esta fuerza depende de la distancia comprimida (o elongada) del resorte. Si la compresión (o elongación) es pequeña, se puede suponer que la fuerza es directamente proporcional a dicha deformación y que siempre apunta hacia la posición de equilibrio o en sentido contrario a la deformación. Dicha suposiciónse conoce como ley de Hooke para resortes lineales. Es decir, la fuerza FR que en todo momento ejerce el resorte sobre la masa está dada por FR D kx; donde x es la deformación y k > 0 es la constante del resorte. Por otra parte, y de acuerdo con la segunda ley de Newton, la suma de todas la fuerzas que se aplican a un cuerpo produce un cambio a su movimiento que se rige por la ecuación F D ma D m1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

d 2x : dt 2

1

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Igualando estos dos resultados, se obtiene el PVI que modela el sistema masa-resorte: m o equivalentemente: m d 2x C kx D 0; dt 2 con x.0/ D x0 & x 0 .0/ D v0 : (5.1) d 2x D kx; con las condiciones iniciales x.0/ D x0 & v.0/ D v0 I dt 2

El modelo encontrado es una ecuación diferencial de segundoorden con coeficientes constantes. Para resolverla, proponemos como solución de la ecuación diferencial una función del tipo x D e r t : Derivando dos veces con respecto al tiempo y sustituyendo en (??) obtenemos la ecuación algebraica .mr 2 C k/e r t D 0 ) mr 2 C k D 0I cuyas dos raíces son imaginarias debido a que m y k son constantes positivas, mr 2 C k D 0 ) r 2 D k ) rD˙ m k D˙ m p k 1: i Idonde i D m

k , tendremos r D ˙iw, de tal forma que un m conjunto fundamental de soluciones lo constituyen las dos funciones sinusoidales cos wt y sen wt. Entonces la solución general de la ecuación diferencial es Si definimos la frecuencia natural del sistema como w D x.t/ D c1 cos wt C c2 sen wt: Derivando la ecuación (??), se obtiene la velocidad del cuerpo, ésta es x 0 .t/ D v.t/ D c1 w senwt C c2w cos wt: (5.3) (5.2)

Las constantes c1 & c2 que aparecen en las ecuaciones (??) y (??) se deben determinar a partir de las condiciones iniciales de movimiento. Como la masa se encuentra inicialmente (t D 0/ a una distancia x0 de la posición de equilibrio, y se suelta con velocidad inicial v0 ; entonces se debe cumplir que x0 D x.0/ D c1 cos .0/ C c2 sen .0/ D c1.1/ C c2 .0/ D c1 : v0 Dv.0/ D c1 w sen .0/ C c2 w cos .0/ D c1 w.0/ C c2 w.1/ D c2 w; de donde c 1 D x0 & c2 D v0 : w (5.4)

Finalmente, integrando los resultados anteriores (??) a la ecuación (??), se obtiene la siguiente expresión para la posición instantánea de la masa en todo tiempo t: x.t/ D x0 cos wt C v0 sen wt: w (5.5)

Por otra parte, para poder analizar la ecuación anterior conviene escribirla en cualquierade las dos formas compactas equivalentes x.t/ D A sen.wt C / decir: sen  D cos  2 : o bien x.t/ D A cos.wt
1 /:

Equivalencia que se obtiene con recordar que las funciones seno y coseno estan desfasadas un ángulo

2

, es

Ecuaciones diferenciales ordinarias 5 En consecuencia, si elegimos  D wt C , se debe cumplir: wt C de donde: : 2 Queremos reescribir la posición de la masa en la...