Aplicaciones Edo Superio

UNIVERSIDAD DEL DESARROLLO
FACULTAD DE INGENIER´IA
´
CAMPUS CONCEPCION
Franco A. Milanese
Aplicaciones E.D.O. de orden superior

A continuaci´
on se detallan 6 temas a exponer el d´ıa 24 de junio en el horario de clases. En
grupos de a lo m´
as tres personas deben elegir uno de estos temas. Deben comunicar mediante
correo electr´
onico los nombres completos de los integrantes del grupo y el n´umero de tema a
elegido.
La asignaci´
on de los temas ser´
a por orden de llegada de los correos electr´
onicos.

1.

Ley de Hooke

En f´ısica, la ley de elasticidad de Hooke o ley de Hooke establece que el alargamiento unitario
que experimenta un material el´
astico es directamente proporcional a la fuerza aplicada sobre
el mismo Fe = −kx, donde k es llamada constante de alargamiento y x es elalargamiento
producido por la fuerza de elasticidad Fe .

Figura 1: Movimiento en un resorte.
Utilizando la segunda Ley de Newton, y suponiendo la ausencia de roce, tenemos que
Fe = ma,
donde Fe es la fuerza de elasticidad del resorte, m es la masa del objeto y a es la aceleraci´
on
que afecta al objeto. As´ı, se llega a la ecuaci´on diferencial ordinaria lineal de orden dos
mx (t) + kx(t) = 0,
dondex(t) es el alargamiento del sistema masa-resorte (movimiento del objeto) en funci´on del
tiempo.
1

1.1.

Tema 1

1. Encuentre la soluci´
on general que describa el movimiento de un sistema masa-resorte en
ausencia de roce.
2. Una masa que pesa 24[kg] se sujeta al extremo de un resorte y lo estira 4[cm]. En un inicio,
en reposo el resorte es comprimido [3cm] y se libera el sistema masa resortepara que este
oscile. Encuentre la ecuaci´on del movimiento del resorte y graf´ıquela.
Grupo 2: Constanza Luna, Eduardo Merino, Gary Salazar.

1.2.

Tema 2

Dos resortes de constantes k1 y k2 est´an unidos a una masa m, y sus extremos libres se unen a
dos soportes fijos, como se muestra en la figura. Las superficies carecen de roce.

1. Describa el modelo de movimiento del sistema masa-resorte.
2.Solucione el modelo suponiendo que se suelta la masa del sistema cuando el resorte de
constante k1 est´
a comprimido x0 .

El modelo propuesto anteriormente es un tanto irreal, puesto que supone que no hay fuerzas
que act´
uen sobre la masa del sistema. A menos de que la masa est´e suspendida en un vac´ıo
absoluto, estar´
a presente la fuerza del roce con el aire, o inclusive la masa puede estarconectada
a un dispositivo amortiguador. En la pr´actica las fuerzas amortiguadoras que act´
uan sobre un
objeto se consideran proporcionales a la velocidad del objeto, as´ı podemos suponer que
Fe − Fa = ma,
donde Fe es la fuerza dada por la Ley de Hooke, m es la masa del objeto, a es la aceleraci´
on
del sistema y Fa es la fuerza de amortiguaci´on dada por Fa = cx (t), donde c es una constante
quedepende del medio de amortiguaci´on llamada constante de amortiguamiento real y x(t) es
el movimiento del sistema.
As´ı, se llega a la E.D.O. de orden dos homog´enea de coeficientes constantes
mx (t) + cx (t) + kx(t) = 0,
2

Figura 2: Movimiento en un resorte con un amortiguador.

que describe el movimiento de un sistema amortiguado.

1.3.

Tema 3

1. Encuentre la soluci´
on general que describael movimiento de un sistema masa-resorteamortiguador.
2. Una masa que pesa 24[kg] se sujeta al extremo de un sistema resorte-amortiguador y lo
estira 4[cm]. El amortiguamiento real del sistema es 0,5[N/(m/s)]. En un inicio, en reposo
el resorte es comprimido [3cm] y se libera el sistema masa resorte para que este oscile.
Encuentre la ecuaci´
on del movimiento del resorte y graf´ıquela.

3

2.Deflexiones de una viga

Muchas estructuras se construyen mediante vigas o travesa˜
nos y estas se distorsionan bajo
su propio peso o por influencia de algunas fuerzas externas.

Figura 3: Deflexi´on en una viga.

Supongamos que una viga de longitud L es homog´enea en su composici´on y que tiene cortes
transversales uniformes a su largo. En ausencia de cualquier carga en la viga, incluyendo su...