Aplicaciones edo

13 de Mayo del 2015

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer
Orden
Abstract
Se establece el uso de ecuaciones diferenciales para resolver problemas relacionados a diferentes campos del
´
conocimiento, podemos apreciar la aplicabilidad de las ecuaciones diferenciales y la importancia de los metodos
´ aprendidos.
de resolucion
Keywords
Ecuaciones diferenciales - aplicaciones
1Ecuaciones

´
´
Diferenciales Ordinarias, NRC: 1440, Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Politecnica
del Ejercito,
Sangolqu´ı, Ecuador

´
1. Aplicaciones a la mecanica
Una de las aplicaciones en la mec´anica de las ecuaciones diferenciales es el movimiento rectil´ıneo de una part´ıcula, pudiendo
ser este, vertical, horizontal o inclinado. Bas´andonos en la primera y la segunda ley de Newton llegamos ala siguiente ecuaci´on:
F = km

dv
dt

Con un cuerpo de masa (m) que cae libremente influido por la gravedad (g) y resistencia del aire que es proporcional a la
velocidad del cuerpo. La constante k = 1 dependiendo de las unidades que estemos usando.
La fuerza neta que act´ua sobre un cuerpo es igual a la raz´on de cambio del momento del cuerpo respecto al tiempo o bien
para una masa constante.
F=m

d2s
dv
= ma = m 2
dt
dt

Donde a representa la aceleraci´on de la part´ıcula, que en el caso de ca´ıda libre, es la gravedad.
F es la fuerza neta sobre el cuerpo y v la velocidad del cuerpo, ambas en el tiempo t.
Existen dos fuerzas que act´uan sobre el mismo. La fuerza debida a la gravedad por el peso del cuerpo (mg) y la fuerza de la
resistencia del aire.
Por lo tanto la fuerza neta es Fsobre el cuerpo, F = mg − kv, y obtenemos

mg − kv = m

dv
dt

Cuando la k > 0, la velocidad limite esta definida por:
v=

mg
k

Ejercicio
Un cuerpo que pesa 64lb se deja caer desde una altura de 100 pies con una velocidad inicial de 10 pies /s. Asuma que la
resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Si se sabe que la velocidad l´ımite es 128 pies/s, encuentre:
• Una expresion dela velocidad del cuerpo en cualquier tiempo t

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden — 2/17

• Una expresi´on para la posici´on del cuerpo en cualquier tiempo t.
a) Dado que w=mg, tenemos que mg=64, dado que v=128 pies/s tenemos que:
64
k
1
2

128 =
k

=

y sustituimos en la ecuaci´on general
Ecuacion general
dv
dt

mg − kv

= m

dv 1
+ v
dt 4

= 32

resolvemos
1
4 dt

FI = e1

FI = e 4 t
Reemplazamos
1

ve 4 t
1

ve 4 t
v

1

e 4 t × 32 + c

=

1

= 128e 4 t + c
= 128 +

c
1

e4t

En t=0, sabemos que v=10, se sustituye y tenemos
10 = ce0 + 128
entonces c=-118 la velocidad en cualquier tiempo t esta dada por
1

v = −118e− 4 + 128
b)como v=dx/dt, don d x es el desplazamiento. se escribe como
1
dx
= −118e− 4 + 128
dt

Resolvemos la ecuacion
1

x = 472e− 4 t + 128t + cen t=0, x=0. De modo
0 = 472e0 + (128)(0) + c
nuestra nueva constante es
c = −472
Se rempaza en al ecuacion, para asi tener la ecuacion del dezplazamiento en cualquier tiempo
1

x = 472e− 4 t + 128t − 472

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden — 3/17

2. Aplicaciones de problemas relacionados con crecimiento y decrecimiento
exponencial
Los problemas relacionados con crecimientoy decrecimiento exponencial incluyen una constante de proporcionalidad, por lo
tanto se requerir´a hacer un nuevo c´alculo despu´es de un intervalo de tiempo t. El m´etodo de soluci´on utilizado estar´a dentro de
las t´ecnicas de resoluci´on de ecuaciones diferenciales, que ya hemos aprendido.
Conocemos la siguiente ecuaci´on:
dN
= kN
dt

(1)

Donde: N es una poblaci´on en un momento t
k es unaconstante de proporcionalidad
Procedemos a resolver esta ecuaci´on diferencial por el m´etodo de separaci´on de variables.
dN
=
N

kdt

ln |N| = kt +C
N = ekt+C
N = ekt ∗ eC
N = Cekt
2.1 Ejercicio de crecimiento exponencial
El n´umero de bacterias en un cultivo de levadura crece a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente. Si la
poblaci´on de una colonia de bacterias de la levadura...