Aplicaciones en ecuaciones diferenciales

Asig.: Ec. Diferenciales

EDO – Parte 3 – Aplicaciones – Modelos matemáticos
1.0.

Introducción
En diversos modelos matemáticos, para obtener una ecuación diferencial que describa un
problema real, se asume que la situación es gobernada por leyes muy simples. Una vez que el
modelo es descrito y construido en la forma de una ecuación diferencial, la siguiente etapa es
resolver la ecuacióndiferencial y utilizar la solución para hacer predicciones relativas al
comportamiento del problema real. En el caso que estas predicciones no concuerden
razonablemente con la realidad, se debe reconsiderar los supuestos iniciales para obtener un
modelo más cercano con la realidad. En al práctica y a fin de atacar el problema propuesto, se
hacen algunas simplificaciones y modificaciones almodelo para resolverlo de manera exacta o
aproximada con la teoría conocida.

1.1.

Crecimiento y Decaimiento
Crecimiento demográfico:
En esencia, la idea del modelo establece en la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la
población de un país crece en forma proporcional a la población total, P (t ) , de ese país en
cualquier momento t . En otras palabras, mientras más personas haya enel momento t ,
habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar

dP
dt

k P

(1)

Donde k es la constante de proporcionalidad.
Desintegración radiactiva:
Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva, se supone que la tasa con que los
núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más
precisión, elnúmero) de núcleos A(t ) , de la sustancia que queda cuando el tiempo es t
(o en el momento t ):

dA
dt

k A

(2)

Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la
interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del
crecimiento, como cabe esperar en la ecuación (1), k 0 ; y en el caso de la
desintegración, dadapor la ecuación (2), k

0

El modelo de desintegración también se aplica a sistemas biológicos; por ejemplo, la
determinación de la “vida media” o “período medio” de una medicina. Nos referimos al
tiempo que tarda el organismo humano en eliminar el 50% de ella, sea por excepción o
metabolización.

Universidad Diego Portales

Parte 3

Facultad de Ingeniería

Capitalización continuadel interés:
Para modelar el concepto de la composición continua del interés supongamos que S (t ) es
la cantidad de dinero acumulada en una cuenta de ahorros al cabo de t años, y que r es
la tasa de interés anual, compuesto continuamente. Si h 0 representa un incremento en
el tiempo, el interés que se obtiene en el intervalo (t h) t es igual a la diferencia entre
las cantidades acumuladas S(t h) S (t ) . Dado que el interés está definido por el
producto: (tasa)(tiempo)(capital inicial), podemos determinar el interés ganado en este
mismo intervalo mediante el producto r h S (t ) , o también mediante el producto

r h S (t h) . Vemos intuitivamente que estas dos cantidades son las cotas inferior y
h) S (t ) , o sea se verifica:

superior, respectivamente, del interés real de laexpresión S (t

r h S (t )

S (t h) S (t )

r h S (t

h)

o sea que

r S (t )

S (t h) S (t )
h

r S (t h)

(3)

Como queremos que el incremento h sea cada vez menos, podemos tomar el límite de la
desigualdad (3) cuando h
0 , con lo cual obtendremos que:

r S (t ) lim
h 0

S (t

h) S (t )
h

r S (t )

(4)

de donde:

lim
h 0

S (t

h) S (t )
h

S (th) S (t )
h

r S (t )

pero

lim
h 0

dS
dt

o sea:

dS
dt

r S

(5)

Lo esencial de haber escrito las ecuaciones (1), (2) y (5) en los desarrollos anteriores es:
Una sola ecuación diferencial puede ser modelo matemático de muchos fenómenos
distintos
En los tres casos estamos frente a una ecuación de variables separables, y al resolver el
problema con valor inicial...