Aplicaciones_fisicas_de_la_derivada_soluciones

Soluciones. Aplicaciones físicas
1. Sobre un montón cónico de arena está cayendo arena a razón de 10 dm3/minuto. El radio de la
base se mantiene constantemente igual a la mitad de la altura. ¿A qué‚ velocidad crece la altura de la pila
cuando tiene 5 Dm. de altura?

h
dm 3
dV
 dh 
= 10
y como dato se da Q =
y que r = .
Se pide calcular  
2
min
dt
 dt  h =5 dm
π 2 

VCONO = 3 r h 
π 3
hTeniendo en cuenta: 
→V =
h
12


r=
2


dV
Aplicando la regla de la cadena a
dt
dV dV dh
=
⋅
dt
dh dt
dV d  π 3  π 2
=  h = h
dt dt  12  4
sustituyendo está en la anterior y particularizando para h = 5 dm
π
 dh 
 dV 
= ·5 2 ⋅  


dt
4
 dt  h =5 dm
 h =5 dm

sustituyendo los datos
10

dm 3 π 2
 dh 
= ·5 dm 2 ⋅  
min 4
 dt  h =5 dm

despejando
8 dm
 dh 
=
 
π mindt
5
  h =5 dm

2. Un globo está a 200 m sobre el suelo y se eleva a razón de 15 m/seg. Un automóvil pasa bajo el
globo con velocidad de 45 km/h. ¿Con qué‚ velocidad se separan el coche y el globo un segundo después?

 dx   dy 
 dL 
Se pide calcular 
 y se conoce   y   , las cuales son constantes respeto del tiempo.
 dt   dt 
 dt  t =1
L se relaciona con x e y mediante elteorema de Pitágoras
L2 = x 2 + y 2
diferenciando esta expresión respecto del tiempo se obtiene:
dy
dx
dL
2L ⋅
= 2x ⋅
+ 2y ⋅
dt
dt
dt
expresión que permite simplificando y despejando obtener la variación de h con respecto del tiempo
dy 
dy 
1
dh 1  dx
 dx
= ⋅ x⋅
+ y⋅  =
⋅ x⋅
+ y⋅ 
2
2 
dt 
dt 
dt
dt h  dt
x +y
teniendo en cuenta que para t = 1
x = 12'5 ⋅1 m
y = 200 + 15 ⋅1

dx
= 45 Km = 12'5m
h
s
dt
dy
= 15
dt

dh
1
=
⋅ [12'5 ⋅12'5 + 200 ⋅15] = 15'7 m
s
2
2
dt
12'5 + 215
3. Una gota de agua esférica cae durante la lluvia absorbiendo humedad proporcionalmente a su área.
Demostrar que su radio crece a velocidad constante.
dr
= k , y para ellos se informa que la variación del volumen de la gota
dt
dV
= K ⋅ S ESFERA
respecto al tiempo es proporcional al área de la gota,
dt
Se pidedemostrar que

A partir del volumen de una esfera
V=

4
π⋅r3
3

y diferenciando con respecto al tiempo
dr
dV
= 4πr 2
dt
dt
teniendo en cuenta:
dV = K ⋅ S ESFERA
S ESFERA = 4πr 2
se llega a:
dr
dV
= 4πr 2
= K ⋅ 4πr 2
dt
dt

simplificando, se demuestra lo que se ha pedido
dr
=k
dt
4. Un punto se mueve sobre el eje X con velocidad constante de 10 cm/seg. y otro sobre el eje Y con
velocidad 30 cm/seg.¿Con qué‚ velocidad se separan los puntos cuando la abscisa vale 12 cm y la ordenada
20?

Se relaciona L con x e y mediante el teorema de Pitágoras
L2 = x 2 + y 2
diferenciando esta expresión respecto del tiempo se obtiene:
dy
dx
dL
= 2x ⋅
+ 2y ⋅
2L ⋅
dt
dt
dt
expresión que permite simplificando y despejando obtener la variación de h con respecto del tiempo
dy 
dy 
1
dh 1  dx
 dx
= ⋅ x ⋅
+ y⋅ =
⋅ x ⋅
+ y⋅ 
dt 
dt 
dt h  dt
x 2 + y 2  dt
sustituyendo por los datos:
dh
1
==
⋅ [12 ⋅10 + 20 ⋅ 30] = 30'9 cm
s
2
2
dt
12 + 20
5. Un móvil se desplaza dé forma que en cada instante el espacio recorrido en metros viene dado por
S(t)=t3 + 2t². ¿Qué‚ velocidad lleva en el instante t0 = 2seg? ¿Cuándo será su velocidad de 7 m/seg.?
 dS 
Se pide calcular v(t = 2 ) =  
, conociendo unaexpresión de S en función de t
 dt  t =2
S = t 3 + 2t 2
sustituyendo la expresión de S(t) en la de la velocidad se obtiene
dS d 3
=
v=
t + 2 t 2 = 3t 2 + 4 t
dt dt
particularizando para t = 2 seg.
v(t = 2 ) = 3 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 = 20 m
s

(

)

En el segundo apartado se pide calcular el tempo par que v = 7 m
v(t = t 0 ) = 3 ⋅ t 0 + 4 ⋅ t 0 = 7 m

s

2

s

despejado se obtiene una ecuación de segundo grado3⋅ t 0 2 + 4 ⋅ t 0 − 7 = 0
resolviendo se obtienen dos valores de t, uno de ellos se rechaza por ser negativo

7

t = −
3⋅ t 0 2 + 4 ⋅ t 0 − 7 = 0 : 
3
 t = 1
6. Una escalera se encuentra apoyada en una pared vertical. La escalera tiene 5 m de longitud. Se
supone que la parte inferior se aleja de la pared a razón de 0,75 m/seg. ¿A qué‚ velocidad desciende su parte
superior cuando el...