aplicaciones fisicas

An´lisis III B - Turno ma˜ana
a
n

1

Flujo de Fluidos, Electrost´tica y Flujo de Calor
a
1

Flujo de fluidos

Muchos problemas importantes en din´mica de fluidos se resuelven mediante m´todos
a
e
de variable compleja, con las siguientes suposiciones:
ısticas
1— El flujo de fluido es bidimensional, es decir, el modelo del flujo y las caracter´
del movimiento del fluido en un plano,son esencialmente las mismas en todo plano
paralelo. Esto permite confinar nuestra atenci´n no m´s que a un plano simple, el
o
a
cual tomamos igual al plano z (o plano (x, y)), en donde las figuras construidas en este
plano se interpretan como secciones transversales de “cilindros infinitos” perpendiculares al plano (x, y). Un cilindro infinito no es nada m´s que un modelo matem´tico
a
a
de uncilindro f´
ısico el cual es tan largo, que los efectos lejanos se pueden despreciar
razonablemente.
2— El flujo es estacionario (o uniforme), o sea, la velocidad del fluido en un punto,
depende solamente de la posici´n y no depende del tiempo.
o
3— Las componentes de la velocidad se derivan de un potencial, es decir, si

V x y V y denotan las componentes de la velocidad V del fluido en (x, y)en las direcciones x e y positivas respectivamente, existe una funci´n Φ, que se llama la velocidad
o
potencial, tal que:
∂Φ
∂Φ
,
Vy =
Vx =
∂x
∂y
(es lo mismo que decir que (V x , V y ) es un campo de gradientes).
4— El fluido es incompresible, es decir, si C es una curva simple cerrada en el plano
(x, y), la cantidad de fluido contenido dentro de C es constante (la cantidad de fluidoque entra a C es igual a la cantidad de fluido que sale de C).

2

An´lisis III B - Turno ma˜ana
a
n

5- El fluido es no viscoso, es decir, no tiene viscosidad o fricci´n interna. Un fluido
o
que es no viscoso e incompresible, se llama fluido ideal y es un modelo matem´tico de
a
un fluido real, en el cual los efectos de viscosidad y fricci´n interna son despreciables.
o
Consideremos elrect´ngulo formado por los puntos (x, y) y (x + ∆x, y + ∆y) de la
a
figura anterior. Si ∆y es chico puedo suponer que V es constante y la cantidad de
fluido que pasa a trav´s del segmento formado por (x, y) y (x, y +∆y) es el ´rea del
e
a
paralelogramo que forma este segmento con el vector V . Esta area mide V x (x, y)∆y.
´

Si ∆x es chico, la cantidad de fluido que sale por el segmentoformado por (x+∆x, y)
y (x+∆x, y+∆y) mide V x (x+∆x, y)∆y. Restando uno a otro, tenemos la raz´n de
o
p´rdida de flujo entre ambos lados:
e
Ã

!

V x (x+∆x, y)−V x (x, y)
∂V x
(x, y)∆x∆y = Φxx (x, y)∆x∆y
∆x∆y ≈
∆x
∂x

(1)

An´logamente, la raz´n de p´rdida de flujo entre los otros dos lados es
a
o
e
Ã

!

V y (x, y+∆y)−V y (x, y)
∂V y
(x, y)∆x∆y = Φyy (x, y)∆x∆y
∆y∆x ≈
∆y
∂y(2)

Como el flujo s´lo entra y sale por estos cuatro lados, entonces sumando (1) y (2)
o
tenemos
Φxx (x, y) + Φyy (x, y) = 0
es decir, Φ satisface la ecuaci´n de Laplace.
o
1.1

El Potencial Complejo

Como la velocidad potencial Φ es una funci´n arm´nica, e int(C) es un conjunto
o
o
simplemente conexo, se deduce que debe existir una funci´n Ψ arm´nica conjugada
o
o
de Φ, talque la funci´n
o
Ω(z) = Φ(x, y) + iΨ(x, y)
es holomorfa en C. Esta funci´n Ω, de fundamental importancia en la caracterizaci´n
o
o
de un flujo, se llama potencial complejo. Por derivaci´n tenemos
o
dΩ
= Ω0 (z) = Φx (x, y) + iΨx (x, y) = Φx (x, y) − iΦy (x, y) = V x − iV y
dz
Siendo as´ la velocidad est´ dada por
ı,
a

3

An´lisis III B - Turno ma˜ana
a
n

V (z) = V x (x, y) +iV y (x, y) = Ω0 (z) se llama la velocidad compleja, y
V = kV (z)k =
pleja.
1.2

q

(V x )2 +(V y )2 = |Ω0 (z)| = |Ω0 (z)| es la magnitud de la velocidad com-

L´
ıneas y Trayectorias Equipotenciales

La familia de curvas Φ(x, y) = α (α=cte.) (curvas de nivel de Φ) se llaman curvas
equipotenciales. La familia de curvas Ψ(x, y) = β (β=cte.) (curvas de nivel de Ψ) se
llaman curvas de...