Aplicaciones Furier

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y CC

Autores:

Miguel Martínez Concha Carlos Silva Cornejo Emilio Villalobos Marín

Part I

Aplicaciones de laSerie Fourier
0.1 Problema 1. Onda cuadrada alta frecuencia
Una aplicación simple de la Serie de Fourier la podemos encontrar en el análisis de circuitos electrónicos que son diseñados para manejarpulsos variables agudos, tales como, una onda cuadrada o un "diente de sierra".Supongamos que una onda cuadrada está de…nida por la función:

0; 0 para las siguientes temperaturas iniciales dadas.5

a) u(x; 0) = f (x) = 3senx + 5sen2x: ¿Que tipo de extensión de f (x)se requiere en este caso? b) u(x; 0) = f (x) = ex senx:¿Que tipo de extensión de f (x)se requiere en este caso?Soluciones.

a) u(x; t) = f (x) = 3senxe
t

+ 5sen2xe

4 t

b) u(x; t) =
1 4 X n=1

n ( 1)n n2 + 4

1

e

1 sennx e

n2 t

0.7

Problema 6

Las series de fourier se constituyen en unaherramienta poderosa en el análisis del comportamiento de los sistemas físicos sujetos a pertubaciones periódicas f (t). El valor de la raíz media cuadrática ó RMC de una función f (t), sobre unintervalo (a; b) ;se de…ne como: s Rb
a

hf (t)i =

f 2 (t) dt b a

a) Sea f (t) una función de…nida x 2 [a; b] , con un período fundamental T = b a. Pruebe que aplicando la identidad de Parseval elvalor RMC se reduce a la formula:

6

v u 1 u 1 X 2 [a + b2 ] hf (t)i = ta2 + n 0 2 n=1 n b) Determine RMC de f (t) = E sen!t, con E y ! constantes positivas. Solución: b) El período fundamentalde la función f (t) = E sen!t, es Entonces el valor RMC de f (t) es: s Z
2 !

.

hf (t)i =

1 (2 =!)

2 !

0

E E 2 sen2 (!t) dt = p 2

0.8
L:

Problema 7.

Un resorte vibralibremente con ambos estremos …jos en x = 0 y x =

a) Si su movimiento esta descrito por la ecuación de onda: @ 2 u (x; t) @ 2 u (x; t) = v2 2 @t @x2

con las condiciones iniciales: u (x; t) = f (x)...