Aplicaciones físicas y geométricas

1.7 Aplicaciones físicas y geométricas

La ecuación vectorial de una curva proporcionada a una dirección a la curva en cada punto. Esto si se piensa que la curva esta descrita por una partícula,se puede considerar la dirección positiva a lo largo de la curva como la dirección en la que la partícula se mueve a medida que el parámetro t aumenta. En tal caso, t puede ser una medida de tiempo, demodo que el vector R(t) se le llama vector de posición.

Ejemplo 1
R(t)= f (t) i + g (t) j
R(t)= (4-t2)i + (t2+4t) j
x = 4 – t 2 y = t 2 + 4 t

VELOCIDAD Y ACELERACIÓN EN MOVIMIENTO CURVILINEOSea C la curva cuya ecuación vectorial es.
R(t )=f (t) i + g (t) j + h (t) k
Si una partícula se mueve a lo largo de C de modo que su posición en cualquier tiempo t unidades en el punto P(f (t) +g (t) + h (t) ), entonces el vector velocidad V(t) y el vector aceleración A(t) en el punto C se define como:
V(t )= R´(t ) V(t )=f ´(t) i + g ´(t) j + h ´(t) k
A(t )=R´´(t ) A(t )=f ´´(t) i + g´´(t) j + h ´´(t) k A(t )=V´(t )
donde R´´(t ) existe, puesto que la dirección de R´(t ) en el punto P es la misma que la de la recta tangente a la curva en P, entonces el vector velocidad V(t ) tieneesta la dirección en P.
El módulo o intensidad(o también magnitud), del vector velocidad, ||V(t )||, es una medida de la rapidez de la partícula.
A continuación la representación de los vectoresvelocidad y aceleración en el punto P de C

Ejemplo 2
Una partícula se mueve a lo largo de una curva plana que tiene la ecuación vectorial.
R(t )=4 cos 1/2 t i + 4 sen 1/2 t j
Calcule la rapidez de lapartícula y el módulo del vector aceleración de la partícula de los t segundos de distancia se mide en centímetros. Dibuje la trayectoria de la partícula y las representaciones de los vectoresvelocidad y aceleración en el punto donde t=1/3 π.
Solución:
Al calcular V(t ) y A(t ) se tiene:
V(t )=R´(t ) = -2sen 1/2 t i+ 2 cos 1/2 t j
||V(t )|| = √ (-2sen 1/2 t)2 +( 2 cos 1/2 t)2
||V(t )|| =...