Aplicaciones Geometrica Dela Derivada

APLICACIONES GEOMETRICA DELA DERIVADA

*RECTA
*TANGENTE

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
En el cálculo se desarrollan dos grandes ideas cuyo fundamento se encuentra en el límite de las funciones. En este tema abordaremos el concepto de derivada, asociado a la comparación de dos variables relacionadas.
El concepto derivada de una función surge de manera simultánea en elpensamiento de dos grandes figuras de la matemática del siglo XVII: Isaac Newton y Gottfried Nilhelm Leibnitz. Este término es generado al intentar resolver dos problemas, en apariencia sin relación alguna. Pero que sin embargo son resueltos con idéntica fundamentación. El primero de ellos es de carácter físico y geométrico y lo plantearemos en forma de pregunta.
Dada una curva ¿Cómo hallar la rectatangente a ella en un punto dado?
Desde luego, es necesario comprender el significado exacto de las palabras que forman la pregunta, para intentar contestarla. Primeramente, ¿Qué es lo que viene a tu mente con referencia a la palabra tangente? Recordarás haberlo empleado con relación a una circunferencia, como aquella recta que “toca” un solo punto de esta.
Tangente
DE LA MISMA MANERA, LASECANTE DE LA CIRCUNFERENCIA CORRESPONDE A UNA RECTA QUE “CORTA” A ÉSTA, COMPARTIENDO DOS PUNTOS CON ELLA. FIGURA 1.
DE LA MISMA MANERA, LA SECANTE DE LA CIRCUNFERENCIA CORRESPONDE A UNA RECTA QUE “CORTA” A ÉSTA, COMPARTIENDO DOS PUNTOS CON ELLA. FIGURA 1.
F.1
F.1

Secante
Es necesario modificar las concepciones que se tienen para secante y tangente, si estas corresponden a las curvasabiertas, como es el caso de aquellas que están asociadas a las funciones.

EN LA FIGURA 2 L1, L2, L3 Y L4 CORRESPONDEN A LA TANGENTE EN DISTINTOS PUNTOS DE LA CURVA. SIN EMBARGO, LA TANGENTE EN UN PUNTO PUEDE CORTAR LA CURVA EN OTRO, Y POSEER UN DOBLE PAPEL: TANGENTE EN UN PUNTO Y SECANTE PARA OTRO. FIGURA 3.

EN LA FIGURA 2 L1, L2, L3 Y L4 CORRESPONDEN A LA TANGENTE EN DISTINTOS PUNTOS DE LA CURVA.SIN EMBARGO, LA TANGENTE EN UN PUNTO PUEDE CORTAR LA CURVA EN OTRO, Y POSEER UN DOBLE PAPEL: TANGENTE EN UN PUNTO Y SECANTE PARA OTRO. FIGURA 3.

La determinación de la tangente a una curva, en un punto dado, se logra mediante la aproximación de un caso extremo, es decir, el límite. Considere la Figura 4. En ella se ilustra una recta secante que pasa por los puntos P y Q, de coordenadas.

P(x0, f (x0))
Q (x0 + x, f(x0 + x))

Se sabe que la pendiente m de la recta que pasa por P y Q es:

Se sabe que la pendiente m de la recta que pasa por P y Q es:

Observa ahora la Figura 5. ¿Cuál de las 3 secantes que se ilustran, se asemeja más a la tangente de la curva en P?

Observa ahora la Figura 5. ¿Cuál de las 3 secantes que se ilustran, se asemeja más a la tangente de la curva en P?Evidentemente aquella que pasa por P y Q3, ya que este último punto es el más cercano a P siguiendo este mismo razonamiento.
“Conforme un punto Q de la curva está más próximo a P, la pendiente de la secante que pasa por P y Q será un valor más cercano a la pendiente de la recta tangente de la curva en P”.
Lo anterior se verifica si: “la diferencia de las abscisas entre dos puntos tienden acero”. Dicho de otra manera:

Evidentemente aquella que pasa por P y Q3, ya que este último punto es el más cercano a P siguiendo este mismo razonamiento.
“Conforme un punto Q de la curva está mas próximo a P, la pendiente de la secante que pasa por P y Q será un valor más cercano a la pendiente de la recta tangente de la curva en P”.
Lo anterior se verifica si: “la diferencia de las abscisasentre dos puntos tienden a cero”. Dicho de otra manera:

Por lo tanto: El significado geométrico de la derivada es la siguiente:
“La derivada de una función f(x) para un argumento x, es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la curva dada por la función en el punto (x, f(x))”.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.

, se denomina tasa de cambio o razón de cambio promedio de la...