Aplicaciones lineales

Tema 4

Aplicaciones lineales.
Definici´n 4.1 – Sea f : V −→ W una aplicaci´n entre los espacios vectoriales reales V y W . o o Se dice que f es una aplicaci´n lineal si: o a) f (u + v) = f (u) + f (v); ∀u, v ∈ V , b) f (ku) = kf (u); ∀u ∈ V y ∀k ∈ IR. Estas dos propiedades se pueden reunir en: f (ku + lv) = kf (u) + lf (v); En general, se tiene que: f (k1 u1 + k2 u2 + · · · + kr ur ) = k1 f(u1 ) + k2 f (u2 ) + · · · + kr f (ur ) ∀u1 , u2 . . . . , ur ∈ V, ∀k1 , k2 , . . . , kr ∈ IR ∀u, v ∈ V, ∀k, l ∈ I R.

Si una aplicaci´n f : V −→ W es lineal y biyectiva, se dice que f es un isomorfismo entre o los espacios V y W . Si V = W , entonces la aplicaci´n lineal f : V −→ V recibe el nombre de operador lineal o o endomorfismo. Y si f es adem´s biyectiva se dice que f es un automorfismo. a4.1

Propiedades de las aplicaciones lineales. N´ cleo e imagen. u
0 V , 0 W son los ceros de V y W . ∀v ∈ V .

Proposici´n 4.2 – Si f : V −→ W es una aplicaci´n lineal, entonces: o o a) f (0 V ) = 0 W ; b) f (−v) = −f (v);

Definici´n 4.3 – Dada una aplicaci´n lineal f : V −→ W , se define el n´ cleo de f , que se o o u denota por ker(f ) ´ ker f , como el conjunto: o ker f = {v ∈ V : f (v)= 0} y se define la imagen de f , que se denota por img(f ) ´ img f , como el conjunto o img f = {w ∈ W : ∃v ∈ V tal que f (v) = w} Es sencillo probar que ker f es un subespacio vectorial de V e img f es subespacio vectorial de W . Definici´n 4.4 – Si f : V −→ W es una aplicaci´n lineal, entonces la dimensi´n del n´cleo se o o o u denomina la nulidad de f y la dimensi´n de la imagen de f sedenomina el rango de f . o

´ Algebra Lineal.

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4.1 Propiedades de las aplicaciones lineales. N´cleo e imagen. u

Si f : V −→ W es una aplicaci´n lineal y B = {v1 , v2 , . . . , vn } es una base de V , la aplicaci´n o o lineal queda perfectamente determinada si conocemos las im´genes por f de los vectores de a la base B , ya que para todo v ∈ V existen k1 , k2 , . . . , kn ∈ IR unicos, talesque v = ´ k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn , con lo que f (v) = f (k1 v1 + k2 v2 + · · · + kn vn ) = k1 f (v1 ) + k2 f (v2 ) + · · · + kn f (vn ) N´tese, que de ´sto se deduce que img f = lin{f (v1 ), f (v2 ), . . . , f (vn )} o e Teorema de la dimensi´n 4.5 – Si f : V −→ W es una aplicaci´n lineal, con V un espacio o o vectorial de dimensi´n n, entonces: o dim(ker f ) + dim(img f ) = n = dim(V )Demostraci´n: o Si la dim(ker f ) = n, entonces ker f = V , y f (v) = 0 ∀v ∈ V , luego img f = {0} que tiene dimensi´n cero, por lo que se cumple o dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V (n + 0 = n) Si la dim(ker f ) = r < n, sea Bker = {u1 , . . . , ur } una base del ker f . Por la Proposici´n 3.11, o ´sta base puede completarse hasta una base de V , BV = {u1 , . . . , ur , vr+1 , . . . , vn }, y el conejunto imagen ser´ por tanto a img f = lin{f (u1 ), . . . , f (ur ), f (vr+1 ), . . . , f (vn )} = lin{0, . . . , 0, f (vr+1 ), . . . , f (vn )} = lin{f (vr+1 ), . . . , f (vn )} Si probamos que el conjunto formado por esos n − r vectores es linealmente independiente, ser´ a una base de la img f y habremos probado que dim(ker f ) + dim(img f ) = dim V ; (r + n−r = n) como quer´ ıamos. Probar lacuesti´n pendiente es sencillo, sean λr+1 , . . . , λn tales que o λr+1 f (vr+1 ) + · · · + λn f (vn ) = 0, y por ser f una aplicaci´n lineal o f (λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ) = 0 por lo que el vector λr+1 vr+1 + · · · + λn vn ∈ ker f Ahora bien, como Bker es una base del ker f , se tiene que λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = µ1 u1 + · · · + µr ur para ciertos µ1 , . . . , µr . Luego −µ1 u1 − · · · − µr ur+ λr+1 vr+1 + · · · + λn vn = 0 y −µ1 = · · · = −µr = λr+1 = · · · = λn = 0 por formar esos vectores una base de V . En particular, con λr+1 = · · · = λn = 0 se prueba que el conjunto {f (vr+1 ), . . . , f (vn )} es un conjunto linealmente independiente de vectores, que por ser tambi´n generador de la img f es e una base de ella.
´ Algebra Lineal.

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4.2 Aplicaciones matriciales

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