APLICACIONES MATEMÁTICAS

APLICACIONES MATEMATICAS



APLICACIONES DE LA INTEGRAL


EJEMPLO 1

Un mecánico perfora un agujero a través del centro de una esfera de metal de 5 pulgadas de radio, como se ve en la figura. El agujero tiene un radio de 3 pulgadas. ¿Cuál es el volumen del anillo resultante?








APLICACIONES DE LA DERIVADA
 
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
 
Una de las aplicaciones máscomunes del cálculo consiste en hallar máximos y mínimos. Piénsese cuan a menudo oímos o leemos términos como máximo beneficio, mínimo coste, mínimo tie











Sustituyendo en la ecuación del volumen, obtenemosmpo, voltaje máximo, tamaño óptimo, área mínima, máxima intensidad o distancia máxima.
 

 

 
Pues bien, debemos hacer uso de las derivadas, pero antes vamos a repasar elprocedimiento para resolver problemas aplicados de máximos y mínimos.
 
1. Asignar símbolos a todas las cantidades dadas y a las cantidades a determinar. Si es posible, hágase un dibujo esquemático.
 
2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud que se desea hacer máxima o mínima.
 
3. Reducir la ecuación primaria a otra que tenga una sola variable independiente. Esto puede exigir el usode ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.
 
4. Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores para los que el problema propuesto tenga sentido.

5. Hallar el valor máximo o mínimo por medio de las técnicas de derivación.

a. Nota: al efectuar el paso 5, recuérdese que para determinar el máximo o el mínimo de unafunción continuaf sobre un intervalo cerrado, comparamos los valores de f en sus extremos relativos con sus valores en los puntos terminales del intervalo.


APLICACIONES DE LA DERIVADA
 
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
 
EJEMPLO 1

Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?SOLUCION


Como la caja tiene base cuadrada, su volumen es:
V = X2 h ecuación primaria

Además, como está abierta por su parte superior, su área es:

S = (área de la base) + (área de los cuatro laterales)

S = X2 + 4Xh = 108 ecuación segunda

Ya que deseamos maximizar V, la expresaremos como función de una sola variable. Para ello, despejamos h en 108 = X2 + 4Xh en términos de x, es decir Evaluando V en los puntos críticos del dominio y en los puntos terminales del dominio, vemos que

V (0) = 0, V (6) = 108, V ( 10,39) = 0

Concluimos que V es máximo cuando x=6, es decir para una caja de dimensiones6x6x3.


APLICACIONES DE DESIGUALDADES 2 



DECISIONES DE FABRICACIÓN
 
El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propiosempaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en U.S. $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?
 
SOLUCIÓN
 
Sea x elnúmero de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques a U.S. $ 1,10 cada uno es de 1,10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0,60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que el costo total es
 
0,60x + 800
 
Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdadsiguiente.
 
Costo de adquisición   > costo de fabricación
1,10X > 0,60x + 800
1,10x – 0,60x > 800
0,50x > 800
X > 1600

En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.




 
Un peluquero atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $5 por corte. Por cada incremento de 75¢ en la tarifa, el peluquero pierde 10 clientes.¿Qué...