Aplicaciones matematicas

México 2010

Índice General Unidad 1 Modelación matemática
1.1 Optimización (una variable)
1.1.1 Ángulo visual 1.1.2 Área 1.1.3 Campo magnético 1.1.4 Calor 1.1.5 Carga 1.1.6 Costo 1.1.7 Distancia 1.1.8 Dosis de medicamentos 1.1.9 Energía 1.1.10 Fuerza 1.1.11 Iluminancia 1.1.12 Masa 1.1.13 Porcentaje de población 1.1.14 Potencia 1.1.15 Presión sanguínea 1.1.16 Rapidez de fotosíntesis 1.1.17Rapidez de reacción química 1.1.18 Resistencia al flujo de la sangre 1.1.19 Resistencia de vigas 1.1.20 Rozamiento 1.1.21 Tiempo 1.1.22 Velocidad del aire de la tráquea al toser 1.1.23 Volumen

1
1
1 2 7 7 7 8 9 13 14 17 17 18 19 19 20 20 20 22 24 24 25 26 26

1.2 Gráficas x(t), v(t), a(t) 1.3 Extremos de funciones de varias variables
1.3.1 Costo 1.3.2 Dosis de medicamentos 1.3.3Temperatura 1.3.4 Volumen

29 30
30 30 31 31

1.4 Mínimos cuadrados 1.5 Multiplicadores de Lagrange
1.5.1 Distancia 1.5.2 Localización de un radiotelescopio 1.5.3 Presión parcial 1.5.4 Temperatura 1.5.5 Volumen

32 33
33 33 34 34 34

1.6 Aplicaciones de la integral
1.6.1 Centro de masa 1.6.2 Fuerza 1.6.3 Masa 1.6.4 Trabajo

36
36 36 38 38

Unidad 2 Aplicaciones matemáticas a problemas deinterés general en ingeniería 41
2.1 Crecimiento de poblaciones
2.1.1 Crecimiento exponencial 2.1.2 Modificaciones del modelo exponencial 2.1.3 Ecuación logística 2.1.4 Modificaciones del modelo logístico

41
41 42 45 50

2.2 Circuitos RC
2.2.1 Circuitos RC de una malla 2.2.2 Marcapasos cardiaco

53
53 56

2.3 Circuitos LR
2.3.1 Circuitos LR de una malla 2.3.2 Circuitos LR de dosmallas

57
57 61

2.4 Circuitos RCL 2.5 Decaimiento radiactivo 2.6 Ley del enfriamiento de Newton 2.7 Mecánica 2.8 Mezclas 2.9 Resortes 2.10 Otras aplicaciones de las ecuaciones diferenciales
2.10.1 Cajas registradoras en supermercados 2.10.2 Cambio de masa y peso corporal 2.10.3 Capa límite en oceanografía 2.10.4 Contaminación de lagos 2.10.5 Crecimiento de cristales 2.10.6 Crecimiento deinversiones 2.10.7 Crecimiento de células 2.10.8 Curva de aprendizaje 2.10.9 Curvas de persecución 2.10.10 Dosis y eliminación de medicamentos y hormonas 2.10.11 Drenado de líquidos 2.10.12 Ecuación de Landau

61 63 69 73 85 92 98
98 98 1008 101 101 102 102 103 103 104 107 109

2.10.13 Edad del universo 2.10.14 Evaporación 2.10.15 Genes heredados 2.10.16 Intensidad de la luz a cierta profundidad2.10.17 Ley de radiación de Stefan 2.10.18 Número de empleados 2.10.19 Pérdida de calor 2.10.20 Presión barométrica 2.10.21 Propagación de un rumor 2.10.22 Propagación de una infección 2.10.23 Publicidad en ventas 2.10.24 Reacción química 2.10.25 Quita nieve 2.10.26 Respuesta a estímulos

109 109 110 110 111 112 112 112 112 113 117 118 118 119

Unidad 3 Aplicaciones matemáticas a procesosespecíficos de cada ingeniería 120
3.1 Series de Fourier 3.2 Ecuación de onda 3.3 Ecuación de calor 3.4 Ecuación de Laplace Bibliografía 120 123 139 140 143

Unidad 1 Modelación matemática
1.1 Optimización (Una variable)
1.1.1 Ángulo visual 1. El borde inferior de la pantalla de un cine de 10 metros de altura está situado a 3 metros por encima del ojo de un observador. ¿A qué distancia de lapantalla debería sentarse el observador para conseguir la visión más favorable? Es decir, ¿cuál es la distancia a la pantalla que maximiza el ángulo visual del observador?
Sol. 39 m

2. Dos corredores arrancan del punto S de la figura y un observador se encuentra en P a 1 unidad de distancia desde la pista de carreras; uno de los corredores va tres veces más rápido que el otro. Halle el valormáximo del ángulo de visión θ del observador de un corredor al otro.

Figura 1.1 Sol. π/6 3. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y está colgada de modo que su borde inferior queda a una distancia d arriba del ojo del observador (como se muestra en la figura). ¿Cuán lejos de la pared debe pararse un observador para tener la mejor vista? (En otras palabras, ¿dónde debe situarse el...