Aplicaciones max y min

1Aplicaciones de M´ximos y M´ a ınimos
Los m´todos para calcular los m´ximos y m´ e a ınimos de las funciones se pueden aplicar a la soluci´n de algunos problemas pr´cticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente o por o a escrito. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en f´rmulas, funciones o ecuaciones. o Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, es dif´enunciar reglas espec´ ıcil ıficas para encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar tales problemas. la siguiente gu´ es de utilidad. ıa ´ GU´ PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MAXIMOS Y M´ IA INIMOS 1.- Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades desconocidas que se tratan de encontrar. 2.- De serposible, hacer un croquis o un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo variable para las cantidades desconocidas. Las palabras como qu´, encontrar, cu´nto, d´nde e a o o cu´ndo suelen estar asociadas a las cantidades desconocidas. a 3.- Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables. 4.- Determinar cual es la variable que se desea optimizar (minimizar omaximizar seg´n el caso) u y expresar ´sta como una funci´n de una de las otra variables. e o 5.- Encontrar los n´meros cr´ u ıticos de la funci´n obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden o a m´ximos o m´ a ınimos. 6.- Verificar si hay m´ximos o m´ a ınimos en la frontera del dominio de la funci´n que se obtuvo o en el paso 4. 7.- No desanimarse si no se puede resolver alg´n problema. Adquirirhabilidad para resolver u problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y pr´ctica. ¡Hay que a seguir intentando! La soluci´n de los siguientes problemas ilustra el uso de la Gu´ o ıa Problema 1 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cart´n de 16cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y o doblando, los ladoshacia arriba. Calcular el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen m´ximo. a Soluci´n. Aplicando el paso 2 de la Gu´ comenzaremos por trazar un croquis del cart´n como o ıa, o se muestra en la figura 1, en donde la letra x denota la longitud del lado del cuadrado que se va a recortar en cada esquina. N´tese que 0 ≤ x ≤ 8. Usando el paso 3, escribimos los datos conocidos o (eltama˜o del rect´ngulo) en los lugares apropiados de la figura n a x

16

16 − 2x 21 − 2x

x
21 − 2x 16 − 2x

21

Figura 2

Figura 1

Despu´s (paso 4), se ve que lo que se desea maximizar es el volumen V de la caja que se formar´ e a doblando a lo largo de las l´ ıneas punteadas (ver Figura 2). Continuando con el paso 4 de la Gu´ ıa, expresamos V como una funci´n de la variable x. o V= x(16 − 2x)(21 − 2x) = 2(168x − 37x2 + 2x3 ). Esta ecuaci´n expresa V como una funci´n de x cuyo dominio es [0, 8]. Buscamos ahora los n´meros o o u cr´ ıticos para probar si son m´ximos o m´ a ınimos (paso 5). Derivando con respecto a x e igualando a cero, 28 dV = 4(3x − 28)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3, x = . dx 3 Entonces, los n´meros cr´ u ıticos son 28 y 3. Como 28 est´ fuera del dominio de lafunci´n, el unico a o ´ 3 3 n´mero cr´ u ıtico es 3. Usando el Criterio de la Segunda Derivada comprobamos que en x = 3 V tiene un m´ximo local a d2 V d2 V = 4(6x − 37) ⇒ |x=3 = −76 < 0. dx2 dx2 Finalmente se ve si hay valores extremos en la frontera del dominio de la funci´n (paso 6). Como o DomV (x) = [0, 8] entonces calculamos la imagen de x = 3, x = 0, x = 8. V (3) = 450, V (0) = 0, V (8) = 0.

Porlo tanto, para obtener una caja de volumen m´ximo debe recortarse un cuadrado de 3cm de a cada lado de la esquina de la hoja de cart´n. o Problema 2 Se desea elaborar un peque˜o recipiente cil´ n ındrico sin tapa que tenga un volumen de 24πcm3 . El material que se usa para la base cuesta tres veces m´s que el que se emplea para la parte a cil´ ındrica. Suponiendo que en la construcci´n no se...