Aplicaciones moviles

Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
´ CON APLICACIONES A LA TEOR´ DE NUMEROS IA

El camino m´s corto entre dos verdades del a an´lisis real pasa por el an´lisis complejo. a a Jacques Hadamard

´ Indice General
Introducci´n o Cap´ ıtulo I: El plano complejo 1.1 Funciones de variable compleja . . . . 1.2 Transformaciones de M¨bius . . . . . . o 1.3 Las funcionestrigonom´tricas inversas e 1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 ´ Indices de arcos cerrados . . . . . . . . ix 1 3 8 12 17 21

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Cap´ ıtulo II: Funciones holomorfas 25 2.1 Derivaci´n de funcionescomplejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 o 2.2 La integral curvil´ ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 El teorema y las f´rmulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41 o Cap´ ıtulo III: Series de Taylor 3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Convergencia casi uniforme . . 3.3 Series de potencias . . . . . . . 3.4 Consecuencias de los desarrollos 49 50 56 6268

. . . . . . de

. . . . . . . . . . . . Taylor

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Cap´ ıtulo IV: Productos infinitos 4.1 Productos num´ricos . . . . . . . . . . e 4.2 Productos de funciones . . . . . . . . . 4.3 Factorizaci´n de funciones holomorfas o 4.4 N´meros de Bernoulli . .. . . . . . . u 4.5 La f´rmula de Stirling . . . . . . . . . o Cap´ ıtulo V: El teorema de Cauchy 5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . 5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . . 5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . 5.4 Clasificaci´n de singularidades aisladas o 5.5 Funciones peri´dicas . . . . . . . . . . o 5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . . v

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79 . 80 . 84 . 91 . 99 . 106 111 111 116 120 126 133 139

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vi

´ INDICE GENERAL

Cap´ ıtulo VI: La funci´n factorial o 145 6.1 Construcci´n de la funci´n factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 o o 6.2 Otras expresiones para la funci´n factorial . . . . . . . . . . . . . 149 o 6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Cap´ ıtulo VII: Series de Dirichlet 7.1 Convergenciade las series de Dirichlet 7.2 Funciones aritm´ticas . . . . . . . . . e 7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . . 7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . 7.5 La distribuci´n de los n´meros primos o u Cap´ ıtulo VIII: El teorema de los residuos 8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Aplicaciones al c´lculo de integrales . a e 8.3 El teorema de Rouch´ . . . . . . . . . 8.4 Sumasde Gauss cuadr´ticas . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 159 160 169 181 184 194 217 217 220 236 244 255 256 259 267 272

Cap´ ıtulo IX: Funciones Harm´nicas o o 9.1 Relaci´n con las funciones holomorfas . o 9.2 Propiedades de las funciones harm´nicas 9.3 Funciones subharm´nicas . . . . . . . . o 9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . .

Cap´ ıtulo X: Funciones enteras 279 10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . ....