Aplicaciones prácticas de la continuidad de una función

Introducción

Como sabemos las funciones están presentes en nuestra vida cotidiana, en el espacio que recorre un automóvil o en los espacios topológicos como ejemplo, una línea continua es algo que no se corta que tiene que seguir, las aplicaciones de la continuidad como las funciones en si es algo más complejo, por eso la siguiente investigación nos da a conocer algunos conceptos básicos yejemplos de este tipo de función así como de sus aplicaciones, como hay continuidad en una función en un punto veremos algunos ejemplos de la discontinuidad también.
Aprenderemos a graficar y resolver ejercicios basándonos en los conceptos ya conocidos.
 
Objetivo General.
Conocer y comprender el concepto de continuidad de una función en un punto determinado.


Objetivos Específicos.Determinar los valores apropiados de los parámetros que reflejan q se cumple la continuidad en un punto para una función definida por partes.

Definir y clasificar las continuidades como también las discontinuidades de una función; para eso necesitamos exponer la grafica de funciones continuas como de discontinuas.



 

Marco Teórico

Una función es algo que casi siempre puedeasociarse a una gráfica, es decir, a un dibujo en el que hay un par de ejes perpendiculares sobre los que aparece representada algún tipo de línea. Cuando dicha línea presenta un trazo continuo hablamos de una función continua y, en caso contrario, de una función que no es continua. Esta es probablemente es la definición más intuitiva que se puede dar de continuidad de una función: Una función continuaes aquélla que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.
Decir que la continuidad es una cuestión local significa que para estudiar la continuidad en un punto basta con estudiar la función alrededor de dicho punto.
De entre todas las aplicaciones que pueden definirse entre dos espacios métrico, las aplicaciones continuas ocupan un papel preponderante importante. Su estudio esfundamental no solo en topología, sino también en análisis, geómetra diferencial y en general, en la mayoría de ramas de las matemáticas.

 
La Continuidad de una Función en un Punto.

La continuidad es un proceso que sigue sin ningún cambio brusco u interrupción de la grafica en . Es decir, la grafica no tiene huecos en
Una función es continua en un punto si en dicho punto la grafica dela función no presenta interrupciones o saltos, esto es, cerca del punto se puede dibujar la grafica de la función sin levantar el lápiz del papel.
Como por ejemplo
Sea una función de variable real, definida al menos en un entorno U de un punto . Se dice que es continua en si existe el límite de en y dicho límite es igual a , es decir, si:
lim
Según la definición de límite, larelación anterior equivale a una cualquiera de las siguientes condiciones
ó b):
a) Para cada número real , existe otro real tal que, siempre que para sea entonces se verifica que “para cerca de ”.

b) Para cualquiera que sea la sucesión de puntos de que tenga límite , se verifica que la sucesión tiene límite






Condiciones de la continuidad en un punto.Definición: de una manera más formal se dice que una función es continua en un Punto “a” si se verifican tres condiciones:

“a” pertenece al dominio de “f”
Existe el límite de f(x) cuando “x” tiende hacia “a”
Dicho Limite vale f(x)

Ejemplo : Ejemplo La función f(x) = 1/x es continua en el abierto (0, , pero no en [0, , pues en 0 no está definida.












La primeracondición: f(a) Exista : La función debe de estar en el punto donde se requiere la continuidad, es decir, f(a) debe ser un numero real.
La segunda condición Lím f(x) x a, Exista: Los valores de la función deben aproximarse a un único número real en la medida de que x se aproxime a “a” por la izquierda y por la derecha.
La tercera condición Lím f(x) = f(a) x a : Los...