Aplicaciones a Administraci n de empresas2015

Aplicaciones a Administración de empresas
Sistema de Ecuaciones lineales y Matrices
Los procedimientos matemáticos en la resolución de problemas prácticos requieren una serie
de pasos que delineamos a continuación:
1.
2.
3.

Leer el problema cuidadosamente.
Identifique lo que debe encontrarse.
Represente cada cantidad desconocida por medio de una variable. Defina claramente
cada variable (esbuena idea escribir exactamente lo que cada variable representa).
4. Relea el problema nuevamente, buscando todos los datos necesarios.
También escríbalos.
5. Vea si una o más oraciones conducen a ecuaciones o desigualdades.
6. Resuelva el problema y contesté la postulada. Verifique su respuesta de
manera que tenga sentido con el problema propuesto.
Ejemplos:
1. Un fabricante produce dos productos A yB. Por cada unidad que vende de A la ganancia es
de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de 11. De la
experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25% más de A que de B. Para el año
siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42,000. ¿Cuántas unidades de cada
producto debe vender?
El problema plantea hallar el número de unidades de dos productos que
debe producir yvender un fabricante.
Hay dos variables a considerar.
Definamos las variables: Sea x el número de unidades que debe producir y vender el fabricante
del producto A. Sea y el número de unidades que debe producir y vender el fabricante
del producto B.
La oración: “De la experiencia se ha encontrado que puede ser vendido 25% más de A que de
B”, sugiere una ecuación. En esta oración se nos proveeinformación del
producto A en términos del producto B. x = y + 25%y, esto es x = 1.25y
La oración: “Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42,000” sugiere
otra ecuación”. En esta oración se nos provee información de las ganancias
totales que se esperan para el año siguiente.
1

Ganancia del producto A + las ganancias del producto B = 42,000:
$8x + $11y = 42,000 (fíjate que estaecuación que representa la dinero ganancia obtenida
de las ventas).
8x+ 11y 
Es sistema de ecuaciones lineales que queremos resolver es: 
x  y

De la forma que está expuesto el sistema se sugiere resolverlo por el método de sustitución.
Resuelve:

8x + 11y = 4200
x = 1.25y
8(1.25y) + 11y 




10y + 11y = 42000 
21y 42000


42000y=

21

X = 1.25(2000) 2500

Conteste la pregunta presentada en el problema: ¿Cuántas unidades de cada producto debe
vender? El fabricante debe vender 2400 unidades del producto A y 2000
unidades del producto B para obtener una ganancia neta de $42,000.
Verifica estos resultados: 8(2500) + 11(2000)= 20000 + 22000 = 42000.
2. El precio al que se vende la toronja afecta la demanda delconsumidor
de toronjas de acuerdo con la ecuación 2p = -2q + 5 (ecuación de demanda) donde p
es el precio por libra (en dólares) al que los consumidores demandarán q miles de libras de
toronjas. La cantidad q de toronjas
que los productores suministrarán
al
precio p
se
rige por la
ecuación 5p = 0.3q + 5.3 (ecuación de
oferta).
Encuentre la cantidad de equilibrio y el precio de equilibrio.
Es decir,encuentre la cantidad y el precio en que la oferta es igual a la demanda.
Tenemos dos ecuaciones con dos variables. Es sistema de ecuaciones lineales que
queremos
2p 2q  5
. Reescribimos el sistema de manera que ambas
resolver
5p
0.3q
es:
5.3 




2

Variables se encuentre en un solo lado
este sistema
 Resolvamos
de las ecuaciones:
utilizando la Regla de Cramer. El sistema sepuede reescribir como una ecuación
matricial:
2 2 q
5
 
 .3 5 p 5.3
0

El discriminante (D) es igual a 2(5) 2(0.3) 10 0.6



D
q q

5

2

b==10.6
5(5) - 2(5.3) 25 - 10.6 = 14.4

5.3 5
Dp = 2 5 
5(5) - 2(5.3) 25 - 10.6 = 14.4
-0.3 5.3


De manera que

Dq

14.4

D 10.6
1.36
Dp 12.1

p 
D 10.6
1.42
q 

La respuesta es a un precio de $142 la demanda será...