Aplicaciones a la hipérbola

25 de noviembre de 2014

Resumen
En este proyecto, se pretende conocer los alcances de la geometría analítica en la vida cotidiana, esto es importante para poder aplicar los resultados de la investigación y enriquecer el conocimiento que hasta ahora hemos obtenido. Queremos demostrar que las matemáticas van más allá del salón de clases y podemos estar en contacto con ellas directa eindirectamente, para ello nos dimos a la tarea de investigar, comprender y analizar no sólo lo que conocemos como una hipérbola, sino también investigamos sobre qué es una sección cónica y cuál es la ligera diferencia que puede generar distintos lugares geométricos. Esta investigación va un poco más allá de lo que se aprende en el aula puesto que estamos acostumbrado a ver las figuras desde una perspectivaanalítica, denotada por números y literales que nos permiten plasmar una lección en dos dimensiones sin ningún problema, pero aquí se nos pide que analicemos fuera de un plano cartesiano, lejos de papel y lápiz, nos exige saber cómo es que se representan los conos en la vida real, y eso es lo que hicimos. Aprendimos que la geometría analítica tiene su razón de ser y que es más que sólo fórmulas,lecciones y ejercicios, descubrimos que en realidad hay una gran variedad de aplicaciones que le podemos dar a los famosos lugares geométricos y no nos limitamos simplemente con la idea que se nos propuso al inicio del proyecto.
Introducción
Sabemos de la existencia de varios lugares geométricos, como la parábola, la elipse y la hipérbola, también sabemos que estos lugares son conocidos con elnombre de secciones cónicas y esto se debe a que resultan de la intersección entre un plano y un cono circular recto. Para ello es importante aclarar primero lo que se entiende por cono circular recto. Y es que lo que conocemos normalmente como un cono, en la geometría analítica esto no es más que un fragmento de lo que es en realidad un cono. Un cono es simétrico, con altura infinita, similar alque se aprecia a continuación.
Las diversas secciones cónicas resultan de la inclinación que tiene el plano con el que se corta al cono. Las diferentes son:
La circunferencia: Que surge cuando el plano está colocado paralelamente con respecto al eje horizontal del cono. Sin embargo, si el corte se realiza a la altura del centro del cono, el resultado es un punto.
La elipse nace cuando el cortetiene un angulación leve, como resultado se tiene una curva cerrada, cabe aclarar que la circunferencia es un caso determinado de elipse.
La parábola se produce cuando el ángulo de inclinación es más grande lo que produce una curva abierta, el exterior de la cónica no interseca por completo.
Por último, la hipérbola, la cual es el área de nuestro interés, es generada cuando el plano se colocaparalelo al eje vertical y produce dos curvas abiertas y simétricas. Mientras más cerca del centro esté el corte, las curvas estarán más cerca.
Estos conceptos básicos son suficientes para comprender la problemática y los puntos clave de la investigación, sin embargo, para entrar más a detalle, se considerará lo que conocemos analíticamente como hipérbola.

Secciones cónicas.




Se entiendepor hipérbola al lugar geométrico de los puntos tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Las ecuaciones utilizadas para definir una hipérbola con centro en (h,k) son:
Cuando la hipérbola es horizontal; y Cuando la hipérbola es vertical.
Con esta información procedemos a analizar a detalle el problema presentado.
Desarrollo
El problema nospide pensar en una lámpara de pantalla y determinar si la región iluminada por dicha lámpara se trata, en efecto, de una hipérbola; debemos encontrar también la ecuación de la hipérbola y para comprobar que lo que hicimos es correcto, debemos comprobarlo dos lámparas distintas.
Demostrar que se trata de una hipérbola es bastante sencillo, ya que el haz de luz que emite la lámpara es un cono y su...