Aplicaciones a las ED de primer orden


















ÍNDICE

1. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN
4

1.1. Dinámica poblacional 4
1.2. Desintegración radiactiva 11
1.3. Ley de absorción de Lambert 18


2. LEY DE ENFRIAMIENTO O CALENTAMIENTO
DE NEWTON



19


3. CAÍDA DEL CUERPO CON RESISTENCIA DEL AIRE
SEGUNDA LEY DE NEWTON
23


4. CIRCUITOSELÉCTRICOS
29

4.1. CIRCUITO LR EN SERIE 31
4.2. CIRCUITO RC EN SERIE 34


5. REACCIONES QUIMICAS
37


6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES
40


7. OTRAS APLICACIONES
45

7.1. MEZCLAS 45
7.2. CUERPOS CON MASA VARIABLE 56
7.3. CUERPOS EN CAMPO GRAVITACIONAL VARIABLE 59
7.4. TRASMISIÓN DE CALOR EN EL ESTADO PERMANENTE 61
7.5. INTERÉS COMPUESTO 64
7.6. DRENADO DE UN TANQUE 66INTRODUCCIÓN



La solución de una ecuación diferencial de primer orden es una herramienta matemática que permite resolver diversos problemas de aplicación de la vida real, desde un problema tan sencillo como el estimar el tiempo de vaciado de un tanque, hasta el hecho de poder calcular la velocidad con que se disuelve un contaminante en el medio ambiente. Se comienza con las ecuaciones más sencillasque existen, que con sólo saber cálculo integral podemos resolver, y son las ecuaciones diferenciales que se resuelven por separación de variables; basta con separar la variable dependiente de la independiente e integrar. Se continúa proponiendo los métodos más comunes, hasta llegar al modelado y solución de problemas de aplicación.

1. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICIÓN
Existen en el mundofísico, en biología, medicina, demografía, economía, etc. cantidades cuya rapidez de crecimiento o descomposición varia en forma proporcional a la cantidad presente, es decir, con , o sea que



que es una E.D. en variables separables o lineal en x de primer orden y cuya solución es

Como

Por lo tanto la solución particular es

En particular cuando , entonces


1.1.DINÁMICA POBLACIONAL

El economista inglés Thomas Malthus fue uno de los primeros en intentar modelar el crecimiento poblacional humano por medio de matemáticas en 1798. Básicamente, el fundamento del modelo maltusiano es la suposición de que la rapidez a la que crece la población de un país en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese momento. En otras palabras, mientras másgente haya en el tiempo t, más gente habrá en el futuro. En términos matemáticos. Si denota la población en el tiempo t, entonces esta suposición se puede expresar como

o (1)

donde k es constante de proporcionalidad. Este modelo simple, que no cuenta con muchos factores que pueden afectar a las poblaciones humanas en cuanto a crecimiento o disminución (por ejemplo,inmigración o emigración), resultó ser bastante preciso para predecir la población de Estados Unidos durante los años 1790-1860. Son pocas las poblaciones que crecen a la velocidad que describe la ecuación (1); sin embargo, todavía se emplea la ecuación (1) para modelar el crecimiento de poblaciones pequeñas en intervalos cortos de tiempo (crecimiento de bacterias en cajas de Petri, por ejemplo).

Estemodelo lineal para crecimiento de poblaciones, son satisfactorias siempre que la población no sea demasiado grande o bien que no se aplique a un futuro distante. Cuando la población es demasiado grande, este modelo no puede ser exacto, ya que no refleja el hecho de que los individuos compiten entre sí por el limitado espacio vital, por recursos naturales, etc. Así pues, hay que agregar un término decompetición para que el crecimiento de la población esté representado en forma más realista. Una elección adecuada del término competitivo es , llamada ley logística (Verhulst, en 1837):



Ahora bien, en general la constante b es muy pequeña comparada con a, de tal modo que si no es demasiado grande, entonces el termino es insignificante comparado con . Sin embargo, si es...