Aplicaciones

Desigualdades Cuadr´ticas y Racionales
a
MATE 3011
Material Suplementario Para el Curso M´todos Cuantitativos 1
e

Este suplemento tiene el prop´sito de mostrar como resolver desigualdades que contienen una exo
presi´n cuadr´tica o una expresi´n racional. Los m´todos que presentaremos difieren de los desao
a
o
e
rrollados para resolver desigualdades lineales y desigualdades con valorabsoluto. Como parte del
proceso de resolver la desigualdad cuadr´tica la rearreglaremos para que un lado sea igual a cero.
a
Luego factorizaremos la expresi´n cuadr´tica que se obtiene.
o
a
Ejemplo 1. Resuelva la desigualdad x2 + x − 2 > 0.
´
SOLUCION. Comenzamos factorizando la expresi´n cuadr´tica pues uno de los lados es igual a
o
a
cero.
x2 + x − 2 > 0
(x + 2)(x − 1) > 0
Ahoraresolvemos la ecuaci´n (x + 2)(x − 1) = 0. Tenemos que
o
x + 2 = 0 o x − 1 = 0.
Obtenemos que x = −2 o x = 1. Estos valores dividen la recta real en tres intervalos: (−∞, −2),
(−2, 1), (1, ∞). Sabemos que x = −2 y en x = 1 satisfacen la ecuaci´n x2 + x − 2 = 0. Deseamos
o
2
determinar el signo de la espresi´n x + x − 2 en los intervalos (−∞, −2), (−2, 1), (1, ∞). Para
o
esto determinamos elsigno de cada uno de los factores usando un valor de x en cada uno de los
intervalos. Este valor particular de x se conoce como valor prueba. Por ejemplo, para determinar el
signo del factor x − 2 en el intervalo (−∞, −2) escogemos un valor de x que este en este intervalo,
digamos x = −3 y lo subustituimos en x − 2. Obtenemos x − 2 = −3 − 2 = −5. Luego x − 2 es
negativo en el intervalo (−∞,−2). Por otro lado x − 1 = −3 − 1 = −4 por lo que x − 1 es negativo
en el intervalo (−∞, −2). Repetimos este procedimiento para los otros dos intervalos. Construimos
una tabla, llamada una tabla de signos, para organizar la informaci´n obtenida:
o
Intervalos

(−∞, −2) (−2, 1) (1, ∞)

Signo de x + 2

−

+

+

Signo de x − 1

−

−

+

Signo de (x + 2)(x − 1)

+

−

+

Elsigno de (x + 2)(x − 1) se obtiene multiplicando el signo de x − 2 con el signo de x + 1. Nos
interesa saber donde (x + 2)(x − 1) > 0, es decir donde (x + 2)(x − 1) es positiva. Esto ocurre en
(−∞, −2) o en (1, ∞).
1

Ejemplo 2. Resuelva la desigualdad x2 ≤ 4x + 12.
´
SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresi´n resultante:
o
x2 ≤4x + 12
x2 − 4x − 12 ≤ 0
(x + 2)(x − 6) ≤ 0.
Resolvemos la ecuaci´n (x + 2)(x − 6) = 0. Obtenemos que x + 2 = 0 o x − 6 = 0. Luego x = −2 o
o
x = 6. Ahora construimos una tabla de signos.
(−∞, −2) (−2, 6) (6, ∞)

Intervalos
Signo de x + 2

−

+

+

Signo de x − 6

−

−

+

Signo de (x + 2)(x − 6)

+

−

+

Buscamos todos los valores de x tales que (x + 2)(x − 6) ≤0. (x + 2)(x − 6) es menor que cero en
el intervalo (−2, 6) e igual a cero en x = −2 y en x = 6. Luego la soluci´n de la desigualdad es el
o
intervalo [−2, 6].
Ejemplo 3. Resuelva la desigualdad x2 < 3x.
´
SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresi´n resultante:
o
x2 < 3x
x2 − 3x < 0
x(x − 3) < 0.
Resolvemos la ecuaci´n x(x − 3)= 0. Obtenemos que x = 0 o x − 3 = 0 de donde se sigue que x = 0
o
o x = 3. Ahora construimos una tabla de signos.

2

Intervalos

(−∞, 0) (0, 3) (3, ∞)

Signo de x

−

+

+

Signo de x − 3

−

−

+

Signo de x(x − 3)

+

−

+

Buscamos todos los valores de x tales que x(x − 3) < 0. Esto ocurre en (0, 3).
Ejemplo 4. Resuelva la desigualdad 4x2 + 8x ≥ 5.
´SOLUCION. Primero despejemos para que un lado de la desigualdad sea cero y factoricemos la
expresi´n resultante:
o
4x2 + 8x ≥ 5
4x2 + 8x − 5 ≤ 0
(2x + 5)(2x − 1) ≤ 0.
Resolvemos la ecuaci´n (2x + 5)(2x − 1) = 0. Obtenemos que 2x + 5 = 0 o 2x − 1 = 0. Luego x = − 5
o
2
1
o x = 2 . Ahora construimos una tabla de signos.
Intervalos

5
(−∞, − 2 )

(− 5 , 1 )
22

( 1 , ∞)
2

Signo...