Aplicaciones

3.8

Aplicaciones

En esta secci´n se analizar´n algunas aplicaciones con los conocimientos adquiridos en la unidad. o a

3.8.1

Trazo de curvas planas y en el espacio

Ejemplo 1 Dibujar las curvas definidas por las funciones vectoriales y analizar su forma. (a) r(t) = cost i + sen t j + t k (b) r(t) = cost i + sen t j + 0.5t k (c) r(t) = cos5t i + sen 5t j + t k Soluci´n. o (a) Lascomponentes en la direcci´n de i y j (ejes coordenados x y y respectivamente) corresponden o a las coordenadas de un c´ ırculo de radio 1. la demostraci´n es de la siguiente forma o Si x = cos t y y = sen t, y con la ecuaci´n del c´ o ırculo x2 + y 2 = a2 y la igualdad trigonom´trica e (cos t)2 + ( sen t)2 = 1 se tiene x2 + y 2 = (cos t)2 + ( sen t)2 = 1 La curva es una h´lice que se encuentra sobreun cilindro de radio 1 y sube al aumentar el valor e del par´metro ya que z = t. La curva da una vuelta completa en el rango 0 ≤ t ≤ 2π, esto es a cuando cos t = cos2π, ⇒ t = 2π como se muestra en la figura 3.16(a). (b) Esta curva es es similar a la curva den inciso (a), con la particularidad de que sube mas lentamente por el factor 0.5 en la componente z como se muestra en la figura 3.16(b). (c) Lacurva tambi´n es una h´lice, solo que da una vuelta completa en un rango menor de t, ya que e e el c´ ırculo se completa cuando π cos 5t = cos 2π, ⇒ 5t = 2π, ⇒ t = 5 en otras palabras, en un rango 0 ≤ t ≤ 2π, la curva da 5 vueltas como se muestra en la figura 3.16(c). Ejemplo 2 Determinar la curva de intersecci´n del cilindro x2 + y 2 = 4 y la superficie z = xy. o La curva de intersecci´n de las dossuperficies est´ formada por todos los puntos que son comunes o a a ambas superficies, y por lo tanto, la ecuaci´n de la curva debe satisfacer las ecuaciones de ambas o superficies. Las componentes de la funci´n vectorial que representa la curva, se obtienen a partir de las o ecuaciones de las superficies. De la ecuaci´n del cilindro, se obtienen las componentes x y y o x2 + y 2 x2 y2 + 4 4 2 x y 2 +2 2 = = = 4 1 1

(a) Curva r(t) = cos t i + sen t j + t k

(b) Curva r(t) = cos t i + sen t j + 0.5t k

(c) Curva r(t) = cos 5t i + sen 5t j + t k

Figura 3.16: Espirales similares y con la igualdad trigonom´trica (cos α)2 + ( sen α)2 = 1 se puede escribir e x 2 de donde
x 2 2

+

y 2

2

= (cos t)2 + ( sen t)2

= cos t y

y 2

= sen t y despejando x = 2 cos t, y = 2 sen tDe la ecuaci´n de la superficie z = xy, se obtiene la componente z, al sustituir las ecuaciones de x y de o y, entonces z = 4 cos t sen t. La funci´n vectorial de la curva de intersecci´n es o o r(t) = 2 cos t i + 2 sen t j + 4 cos t sen t k Las tres componentes son funciones peri´dicas, por lo que la curva es cerrada. o Las componentes en x y en y tienen un rango de -1 a 1, el rango de lacomponente en z se obtiene aplicando los conceptos de m´ximo y m´ a ınimo vistos en el curso de matem´ticas I. a d [4 cos t sen t] = 4 cos t cos t + 4(− sen t) sen t = 4 cos2 t − 4 sen 2 t dt utilizando la igualdad cos2 α + sen 2 α = 1, de donde sen 2 α = 1−cos2 α e igualando a cero para obtener los valores m´ximos y m´ a ınimos d [4 cos t sen t] = 4 cos t cos t − 4(1 − cos2 t) = 8 cos2 t − 4 = 0 dt 8cos2 t = 4 4 1 cos2 t = = 8 2 despejando el valor de t, se obtiene el valor del par´metro para los valores m´ximo y m´ a a ınimo de la componente z de la curva. cos t = ± 1 , 2 t = arccos(± 1 π )=± 2 3

Los valores m´ximo y m´ a ınimo de z son:

√

√ 3 y − 3.

En la figura 3.17 se muestran las dos superficies y la curva de intersecci´n. o

(a) Cilindro x2 + y 2 = 4

(b) Superficie z =xy

(c) Curva r(t) = 2 cos t i + 2 sen t j + 4 cos t sen t k

Figura 3.17: Curva de intersecci´n de superficies o

Ejemplo 3 Determine los intervalos en que la curva es suave (a) r(t) = (t + sen t) i + (1 − cos t) j (b) r(t) = 2t 2t2 i+ j 8 + t3 8 + t3

(c) (t3 + t) i + t4 j + t5 k Una curva r(t) = f (t) i+g(t) j+h(t) k es suave en un intervalo I si f , g y h son continuas y r (t) = (0) en...