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“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”










PRESENTADOR POR:


NATALIA CASTILLO MÉNDEZ
XIOMAR ANDREA DITTERICH RUÍZ
RICARDO ORTEGÓN MENDOZA







PRESENTADO A:

ING. CARLOS MONROY








MATEMATICAS III








CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DEL META
INGENIERÍA AMBIENTAL
MAYO
2012
INTRODUCCION

Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en laMatemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Es interés de este trabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico . A esta transición del problema, al Modelo Matemático correspondientese llama Modelado. Este método tiene una gran importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamiento matemático y su solución, y la interpretación física del resultado. Se dedicará en este espacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundoorden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se verán más fáciles si uno se concentra primeros en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil los conceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.















OBJETIVOS

Mediante la primera y segunda ley de Hooke determinarecuaciones diferenciales.
Solucionar respectivamente los ejercicios del taller usando las formulas adecuadas de la leyes de Hooke y ecuación diferencial para hallar la función x(t).
Hallar mediante la ecuación principal los valores y .




















“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN”

Aplicaciones a la física:
Movimiento Armónico Simple:

La Ley de Hooke:Supongamos que un cuerpo de masa M esta sujeto al extremo de un resorte flexible suspendido de un soporte rígido (por ejemplo un techo), como se muestra en la figura 5.1b. Cuando M se remplaza por un cuerpo diferente Mi, el alargamiento del resorte será, por supuesto, distinto.
Por la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F opuesta a la dirección del alargamiento yproporcional a su magnitud s. Dicho en términos simples, F = ks, en donde k es una constante de proporcionalidad. Aunque cuerpos de distinto peso producen distintos alargamientos del resorte, tal elemento elástico esta esencialmente caracterizado por él numero k. Por ejemplo, si un cuerpo que pesa 10lb. Alarga el resorte en 1/2 pie, entonces,
10 = k (1/2) implica que k = 20 lb. /pie.
Luego,necesariamente una masa que pesa 8 lb. Alarga el mismo resorte en 2/5 pie.

Segunda Ley de Newton:
Después que una masa M se sujeta a un resorte, aquella lo alargara en una magnitud s y alcanzara la posición de equilibrio en la cual su peso W es equilibrado por la fuerza de restitución ks. El peso es definido por:
W = m . g

En donde la masa puede medirse en Kilogramos, gramos o geo libras (slugs) y g = 9.8mt/s² , p80 cm/s² o 32pie/s², respectivamente. Tal como se indica la figura 5.2b,la condición de equilibrio es m.g = ks o bien m.g - ks = 0. Si ahora la masa se desplaza de su posición de equilibrio en una magnitud x y después se suelta, la fuerza neta F correspondiente a este caso dinámico está dada por la segunda ley del movimiento de Newton, F = ma, en donde a es la aceleración d²w/dt².Suponiendo que sobre el sistema no actúan fuerzas exteriores (movimiento vibratorio libre), entonces podemos igualar F a la resultante del peso y la fuerza de restitución:

(1)

Ecuación Diferencial Del Movimiento Libre no Amortiguado:
Dividiendo la última ecuación planteada entre la masa m, se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:

O bien.

En donde = k/m. Se dice que la ecuación (3)...