AplicacionesMax Min

Aplicaciones de M´
aximos y M´ınimos
Los m´etodos para calcular los m´aximos y m´ınimos de las funciones se pueden aplicar a la
soluci´on de algunos problemas pr´acticos. Estos problemas pueden expresarse verbalmente o por
escrito. Para resolverlos hay que transformar sus enunciados en f´ormulas, funciones o ecuaciones.
Como hay muchos tipos de problemas en las aplicaciones, es dif´ıcil enunciarreglas espec´ıficas para
encontrar sus soluciones. Sin embargo, puede desarrollarse una estrategia general para abordar
tales problemas. la siguiente gu´ıa es de utilidad.
´
GU´IA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS DE MAXIMOS
Y M´INIMOS
1.- Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los hechos dados y en las cantidades
desconocidas que se tratan de encontrar.
2.- De ser posible, hacerun croquis o un diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variable para las cantidades desconocidas. Las palabras como qu´e, encontrar, cu´
anto, d´
onde
o cu´
ando suelen estar asociadas a las cantidades desconocidas.
3.- Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
4.- Determinar cual es la variable que se desea optimizar (minimizar o maximizar seg´
un elcaso)
y expresar ´esta como una funci´on de una de las otra variables.
5.- Encontrar los n´
umeros cr´ıticos de la funci´on obtenida en el paso 4 e investigar si corresponden
a m´aximos o m´ınimos.
6.- Verificar si hay m´aximos o m´ınimos en la frontera del dominio de la funci´on que se obtuvo
en el paso 4.
7.- No desanimarse si no se puede resolver alg´
un problema. Adquirir habilidad pararesolver
problemas aplicados toma una gran cantidad de esfuerzo y pr´
actica. ¡Hay que
seguir intentando!
La soluci´on de los siguientes problemas ilustra el uso de la Gu´ıa
Problema 1 Se desea construir una caja sin tapa con base rectangular a partir de una hoja rectangular de cart´
on de 16cm de ancho y 21cm de largo, recortando un cuadrado en cada esquina y
doblando, los lados hacia arriba. Calcularel lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de
volumen m´
aximo.
Soluci´
on. Aplicando el paso 2 de la Gu´ıa, comenzaremos por trazar un croquis del cart´on como
se muestra en la figura 1, en donde la letra x denota la longitud del lado del cuadrado que se va a
recortar en cada esquina. N´otese que 0 ≤ x ≤ 8. Usando el paso 3, escribimos los datos conocidos
(el tama˜
no del rect´angulo)en los lugares apropiados de la figura
x

16

16 − 2x
21 − 2x

x
21 − 2x

21

Figura 1

16 − 2x

Figura 2

Despu´es (paso 4), se ve que lo que se desea maximizar es el volumen V de la caja que se formar´a
doblando a lo largo de las l´ıneas punteadas (ver Figura 2). Continuando con el paso 4 de la Gu´ıa,
expresamos V como una funci´on de la variable x.
V = x(16 − 2x)(21 − 2x) = 2(168x − 37x2 + 2x3).
Esta ecuaci´on expresa V como una funci´on de x cuyo dominio es [0, 8]. Buscamos ahora los n´
umeros
cr´ıticos para probar si son m´aximos o m´ınimos (paso 5). Derivando con respecto a x e igualando
a cero,
28
dV
= 4(3x − 28)(x − 3) = 0 ⇒ x = 3, x =
.
dx
3
28
Entonces, los n´
umeros cr´ıticos son 28
a fuera del dominio de la funci´on, el u
´nico
3 y 3. Como 3 est´
n´
umero cr´ıtico es 3. Usandoel Criterio de la Segunda Derivada comprobamos que en x = 3 V
tiene un m´aximo local
d2 V
d2 V
=
4(6x
−
37)
⇒
|x=3 = −76 < 0.
dx2
dx2
Finalmente se ve si hay valores extremos en la frontera del dominio de la funci´on (paso 6). Como
DomV (x) = [0, 8] entonces calculamos la imagen de x = 3, x = 0, x = 8.

V (3) = 450,

V (0) = 0,

V (8) = 0.

Por lo tanto, para obtener una caja de volumen m´aximodebe recortarse un cuadrado de 3cm de
cada lado de la esquina de la hoja de cart´on.
Problema 2 Se desea elaborar un peque˜
no recipiente cil´ındrico sin tapa que tenga un volumen de
24πcm3 . El material que se usa para la base cuesta tres veces m´
as que el que se emplea para la parte
cil´ındrica. Suponiendo que en la construcci´
on no se desperdicia material, calcular las dimensiones
del...