AplicacionIntegrales
Páginas: 10 (2436 palabras)
Publicado: 21 de noviembre de 2015
El método de Exhaución.
El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamoscalcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas.
Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el árease conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados.
Se considera primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos.
Si se consideraahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta.
Inclusive, se interpreta como el área de la región limitada por la gráfica y = f(x) el eje “x” y las líneas verticales de x = a, y x = b(a
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.
Integral de una función escalonada. Propiedades.
Antes dedefinir la integral de una función cualquiera, estudiar la integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremosde integral de una función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.
Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas
x = 0, x = 5 y el eje OX.
El área que interesa se puede descomponer en tres rectángulos: el “rectángulo” A cuyabase es el intervalo [0,1], y altura 1; el rectángulo B de base [1,2], y altura 3; y el rectángulo C de base [2,4], y altura 5. Por lo tanto, para calcular el área total hemos de sumar el área de estos tres rectángulos. Si denotamos por x0, x1, x2, x3 los puntos que delimitan las bases de los rectángulos y por r1, r2, r3 las alturas de dichos rectángulos tenemos que:
Aa = (1-O) * 1 = 1 = (x1-x0) *r1
Ab = (2-1) * 3 = 4 = (x2-x1) * r2
Ac = (4-2) * 5 = 2 = (x3-x2) * r3
Luego: A = Aa + Ab + Ac = (x1-x0) * r1 + (x2-x1) * r2 + (x3-x2) * r3 = ∑= (xk – xk – 1). Rk
Una función f, definida en un intervalo [a, b], es escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición. Una Partición delintervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b] Se denota por P: {a= X0 < X1 <… Xn = b}
Por lo tanto, en una función escalonada cualquiera, el área vendrá dada por la siguiente
Fórmula: A = ∑ (Xk – Xk -1) * r
Se define la integral desde a hasta b de la función escalonada f, y se denota número real....
El método de Exhaución.
El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamoscalcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas.
Según el método de exhaución, para aproximar el área encerrada entre la función, el eje OX, y las rectas x = 0, x = 2, tomamos poligonales que inscriban y circunscriban dicho recinto. En este caso dichas poligonales son rectángulos y es evidente que el árease conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la base de los rectángulos tomados.
Se considera primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de los dibujos.
Si se consideraahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta.
Inclusive, se interpreta como el área de la región limitada por la gráfica y = f(x) el eje “x” y las líneas verticales de x = a, y x = b(a
Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0,2] en un número infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el área por exceso y ambas con el área del recinto que se está calculando.
Integral de una función escalonada. Propiedades.
Antes dedefinir la integral de una función cualquiera, estudiar la integral de funciones escalonadas, por dos razones: primera, y siguiendo nuestro principio de dar los conceptos de forma gradual según su nivel de dificultad, que son más intuitivas y fáciles, y todas las propiedades de estas integrales son las mismas que las de las integrales de funciones generales; y segunda, porque la definición que daremosde integral de una función general, será a partir de estas funciones. Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.
Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas
x = 0, x = 5 y el eje OX.
El área que interesa se puede descomponer en tres rectángulos: el “rectángulo” A cuyabase es el intervalo [0,1], y altura 1; el rectángulo B de base [1,2], y altura 3; y el rectángulo C de base [2,4], y altura 5. Por lo tanto, para calcular el área total hemos de sumar el área de estos tres rectángulos. Si denotamos por x0, x1, x2, x3 los puntos que delimitan las bases de los rectángulos y por r1, r2, r3 las alturas de dichos rectángulos tenemos que:
Aa = (1-O) * 1 = 1 = (x1-x0) *r1
Ab = (2-1) * 3 = 4 = (x2-x1) * r2
Ac = (4-2) * 5 = 2 = (x3-x2) * r3
Luego: A = Aa + Ab + Ac = (x1-x0) * r1 + (x2-x1) * r2 + (x3-x2) * r3 = ∑= (xk – xk – 1). Rk
Una función f, definida en un intervalo [a, b], es escalonada cuando existe una partición del intervalo [a, b] de modo que f toma valores constantes en el interior de cada uno de los intervalos de la partición. Una Partición delintervalo [a, b] es una colección de intervalos contenidos en [a, b], disjuntos dos a dos (sin ningún punto en común) y cuya unión es [a,b] Se denota por P: {a= X0 < X1 <… Xn = b}
Por lo tanto, en una función escalonada cualquiera, el área vendrá dada por la siguiente
Fórmula: A = ∑ (Xk – Xk -1) * r
Se define la integral desde a hasta b de la función escalonada f, y se denota número real....
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