Aplicación De La Fórmula De Black-Schooles
Páginas: 23 (5746 palabras)
Publicado: 17 de octubre de 2012
“VALUACIÓN DE UN CALL EUROPEO DE AMÉRICA MÓVIL UTILIZANDO BLACK-SCHOLES”
“Fundamentos de Economía Matemática”
México, D.F., febrero 2011
Resumen
El clásico modelo de valoración de opciones europeas de Black y Scholes (1973) que vendría a revolucionar la forma en que operaban los mercados, innovando estrategias de inversión y cuya importancia principal está en la administración delriesgo, supone que los retornos logarítmicos de un activo financiero se distribuyen normalmente, no obstante esto no siempre se cumple. En este artículo se presentan los supuestos básicos de la teoría desarrollada por Black-Scholes para llegar a la ecuación diferencial estocástica, la aplicación de la fórmula (que es la solución a la ecuación diferencial) para valuar una opción sobre acciones deAmérica Móvil y finalmente, la estimación de la volatilidad a través de un modelo GARCH(1,1) como solución alterna al no cumplimiento de normalidad.
Contenido
1. Introducción 3
2. Marco Teórico 5
2.1 Espacios de Probabilidad. 5
2.2 σ – Álgebras 5
2.3 Funciones medibles y variables aleatorias 6
2.4 Convergencia Estocástica en Lq 6
2.5 Nociones Básicas de Procesos Estocásticos 62.6 Información como filtraciones y procesos adaptados a ellas 6
2.7 Movimiento Browniano y proceso de Wiener 7
2.8 Movimiento Browniano Geométrico 8
2.9 La fórmula de Ito 8
3. Desarrollo 9
3.1 Introducción al Modelo. 9
3.2 Dinámica del precio de una acción y riesgo del mercado 10
3.3 Dinámica del precio de la opción 11
3.4 Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y suopción de compra 11
3.5 Administración del riesgo de mercado 12
3.6 Dinámica de crédito bancario e inversión alternativa del portafolio 12
3.7 Equilibrio general, no arbitraje y ecuación diferencial parcial de Black-Scholes 13
3.8 Aplicación del modelo 15
4. Conclusiones 18
5. Bibliografía 19
1. Introducción.
Un derivado financiero es un contrato, cuyo valor es función, o sederiva, del precio de otro objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de referencia o un índice, tales como una acción, una divisa o un producto físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el precio, es llamado activo subyacente. Los llamados derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos, pero, dependiendo de la intención que se tenga al utilizarlos, los agentesu operadores que intervienen en su uso siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes categorías: coberturistas, especuladores o arbitrajistas.
El objetivo de un coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable. Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de la dirección futura de los mercados y tratar deobtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o más activos o derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.
Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier (1768-1830). Fourierpublicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual de la Academia de Ciencias, había presentado el primer trabajo relativo al tema de la conducción del calor. Ilustres matemáticos puros de la época, tales como Laplace, Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, yaque por su condición de físico-matemático, los procedimientos de Fourier eran más empíricos que lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su investigación, hasta que su persistencia y la relevancia de su teoría lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de París en 1812.
En 1827 el botánico inglés Robert Brown, analizó el movimiento de partículas de polen en el...
“Fundamentos de Economía Matemática”
México, D.F., febrero 2011
Resumen
El clásico modelo de valoración de opciones europeas de Black y Scholes (1973) que vendría a revolucionar la forma en que operaban los mercados, innovando estrategias de inversión y cuya importancia principal está en la administración delriesgo, supone que los retornos logarítmicos de un activo financiero se distribuyen normalmente, no obstante esto no siempre se cumple. En este artículo se presentan los supuestos básicos de la teoría desarrollada por Black-Scholes para llegar a la ecuación diferencial estocástica, la aplicación de la fórmula (que es la solución a la ecuación diferencial) para valuar una opción sobre acciones deAmérica Móvil y finalmente, la estimación de la volatilidad a través de un modelo GARCH(1,1) como solución alterna al no cumplimiento de normalidad.
Contenido
1. Introducción 3
2. Marco Teórico 5
2.1 Espacios de Probabilidad. 5
2.2 σ – Álgebras 5
2.3 Funciones medibles y variables aleatorias 6
2.4 Convergencia Estocástica en Lq 6
2.5 Nociones Básicas de Procesos Estocásticos 62.6 Información como filtraciones y procesos adaptados a ellas 6
2.7 Movimiento Browniano y proceso de Wiener 7
2.8 Movimiento Browniano Geométrico 8
2.9 La fórmula de Ito 8
3. Desarrollo 9
3.1 Introducción al Modelo. 9
3.2 Dinámica del precio de una acción y riesgo del mercado 10
3.3 Dinámica del precio de la opción 11
3.4 Dinámica de un portafolio combinado del subyacente y suopción de compra 11
3.5 Administración del riesgo de mercado 12
3.6 Dinámica de crédito bancario e inversión alternativa del portafolio 12
3.7 Equilibrio general, no arbitraje y ecuación diferencial parcial de Black-Scholes 13
3.8 Aplicación del modelo 15
4. Conclusiones 18
5. Bibliografía 19
1. Introducción.
Un derivado financiero es un contrato, cuyo valor es función, o sederiva, del precio de otro objeto financiero, que puede ser un activo, una tasa de referencia o un índice, tales como una acción, una divisa o un producto físico. En todos los casos el activo del cual se deriva el precio, es llamado activo subyacente. Los llamados derivados financieros han sido utilizados con diversos objetivos, pero, dependiendo de la intención que se tenga al utilizarlos, los agentesu operadores que intervienen en su uso siempre se pueden enmarcar dentro alguna de las siguientes categorías: coberturistas, especuladores o arbitrajistas.
El objetivo de un coberturista (hedger) es cubrir el riesgo que afronta ante potenciales movimientos en un mercado variable. Los especuladores, utilizan los derivados para apostar acerca de la dirección futura de los mercados y tratar deobtener beneficio de esas tendencias "previstas". Los arbitrajistas toman posiciones compensatorias sobre dos o más activos o derivados, asegurándose un beneficio sin riesgo, y aprovechando situaciones coyunturales de los mercados.
Los orígenes de los modelos para la valoración de derivados financieros se encuentran en la ecuación de difusión, cuyo autor fue Joseph Fourier (1768-1830). Fourierpublicó la Théorie Analitique de la Chaleur en 1822; pero desde 1807, aspirando al premio anual de la Academia de Ciencias, había presentado el primer trabajo relativo al tema de la conducción del calor. Ilustres matemáticos puros de la época, tales como Laplace, Lagrange y Legendre, que evaluaron la investigación, manifestaron sus reservas sobre el rigor lógico de algunas de sus deducciones, yaque por su condición de físico-matemático, los procedimientos de Fourier eran más empíricos que lógico-deductivos. Pero lo animaron a continuar su investigación, hasta que su persistencia y la relevancia de su teoría lo hicieron acreedor al Gran Premio de la Academia de Ciencias de París en 1812.
En 1827 el botánico inglés Robert Brown, analizó el movimiento de partículas de polen en el...
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