Aplicación de modelos matemáticos

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla
Escuela de Biología
Biomatemáticas 1


Aplicación de Modelos Matemáticos

Introducción

Este trabajo tiene por objetivo principal aterrizar los conceptos vistos en clases, así como la investigación que realizamos por nuestra cuenta, mediante los dos problemas siguientes. A los cuales, trataremos de darles solución mediante la creaciónde un modelo matemático que empleará como herramientas los conocimientos previos acerca de sistema de ecuaciones y matrices.

Describiremos el problema literalmente como se nos dictó, para después traducirlo matemáticamente para poder expresar el modelo matemático que propone la mejor manera de solucionarlo.

Problemas

1. Un dietista está planeando el menú para la merienda en el salóncomedor de la universidad. Se servirán 3 platillos principales, teniendo cada uno diferente contenido vitamínico. La meta que se persigue es que el contenido nutritivo de la comida cubra los niveles diarios mínimos de las 3 diferentes vitaminas.

En la tabla se resumen el contenido vitamínico por onza de cada alimento. Además se indican los niveles diarios mínimos de las 3 vitaminas.Tabla:
Alimento | Vitamina 1 | Vitamina 2 | Vitamina 3 |
Alimento 1 | 5 mg | 2 mg | 1 mg |
Alimento 2 | 3 mg | 1 mg | 5 mg |
Alimento 3 | 2 mg | 3 mg | 2 mg |
Necesidades diarias mínimas de vitaminas | 29 mg | 20 mg | 21 mg |





Traducción matemática
De acuerdo a nuestro texto, queremos conocer las cantidades idóneas que satisfagan:

* Los niveles diarios mínimos de cadavitamina

Una vez determinados los requerimientos de nuestro problema, es necesario, que presentemos algunos de los términos que utilizaremos a lo largo de nuestro problema.

X1 Alimento 1
X2 Alimento 2
X3 Alimento 3

Según el texto, para que los platillos de la merienda cumplan con los requerimientos de la universidad, debe tener:

Menú 1 (29 mg) = 5mgAlimento 1 + 3mg deAlimento 2 + 2mg de Alimento 3
Menú 2 (21 mg) = 2mgAlimento 1 + 1mg de Alimento 2 + 3mg de Alimento 3
Menú 3 (21 mg) = 1mgAlimento1 + 5mg de Alimento 2 + 2mg de Alimento 3

Por lo que, sustituyendo por los términos anteriormente descritos, nos quedaría un sistema de ecuaciones como el siguiente:

1. 5X1 + 3X2 + 2X3 = 29
2. 2X1 + X2 + 3X3 = 20
3. X1 + 5X2 + 2X3 = 21

El cual describeperfectamente nuestro problema. Por lo que será este el modelo matemático que emplearemos para resolver nuestro problema.
Lo único que resta por hacer, ya que no tenemos ninguna otra restricción que haya que tomar en cuenta, es resolverlo.

1. 2(5X1 + 3X2 + 2X3 = 29) 10X1 + 6X2 + 4X3 = 58
2. -5(2X1 + X2 + 3X3 = 20) -10X1 - 5X2 - 15X3 = -100
4. / X2 - 11X3 =-42

1. -1(5X1 + 3X2 + 2X3 = 29) -5X1 – 3X2 - 2X3 = -29
3. 5(X1 + 5X2 + 2X3 = 21) 5X2 + 25X2 + 10X3= 105
5. / 22X2 + 8X3 = 76

4. 22( X2 - 11X3 = -42) 22X2 - 242X3 = -924
5. -1(22X2 + 8X3 = 76) -22X2 – 8X3 = -76
/ - 250X3 = -1000

X3=-1000-250

X3=4
22X2 + 8X3 = 76 5X1 + 3X2 + 2X3 = 29
22X2 + 8(4) = 76 5X1 + 3(2) + 2(4) = 29
22X2+ 32 = 76 5X1 + 6 + 8 = 29
22X2 = 76 – 32 5X1 + 14 = 29
22X2 = 44 5X1 = 29 – 14

X2=4422 X1=155

X2=2 X1 = 3

Una vez que se resolvió el sistema de ecuaciones, por el método de su elección, los resultados obtenidos serán:

X1= 3
X2= 2
X3= 4

Verificando nuestros resultados:4. 5(3) + 3(2) + 2(4) = 29
5. 2(3) + (2) + 3(4) = 20
6. (3) + 5(2) + 2(4) = 21

Nos damos cuenta que estos cumplen con los requerimientos de nuestro texto, por lo que se interpretan como correctos.

Problema:

2. El dietista de una institución penal está preparando el menú para el alimento ligero de esta noche. En la comida se servirán 2 artículos alimenticios. El...