Aplicación del cálculo Integral en diferentes tipos de la ingeniería
Páginas: 7 (1705 palabras)
Publicado: 9 de diciembre de 2015
Nombre: Jenniffer Hurtado B.
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
Aplicación del cálculo Integral en diferentes
campos de la ingeniería
Introducción
Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya
que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación
numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades,resistencia y fuerzas
distribuidas.
Objetivo General:
Establecer la importancia y la aplicación que tiene el cálculo integral
en los campos de la ingeniería
Calculo Integral
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración.
Dada una función
f,
se busca otra función
F
tal que su derivada es
F
'=
f;
F
es la integral,
primitiva o anti-derivadade
f,
lo que se escribe
F
(
x
)=
f
(
x
)
d x
o simplemente
F
=
f
dx
(esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar
para la integración: como la derivada de
x
2 es 2
x,
la integral de 2
x
es
x
2. Si
F
es la
integral de
f,
la forma más general de la integral de
f
es
F
+
c,
en donde
c
es una
constante cualquiera llamadaconstante de integración; esto es debido a que la
Nombre: Jenniffer Hurtado B.
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
derivada de una constante es 0 por lo que (
F
+
c
)' =
F
'+
c
'=
f
+0=
f.
Por ejemplo,
2
xdx
=
x
2+
c.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la
diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) esigual a la suma (o diferencia) de
sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la
integral de
x
= ½·2
x
es ½
x
2, y de forma similar
xm dx
=
xm
+1/(
m
+ 1) para
cualquier
m
-1 (no se incluye el caso de
m
= -1 para evitar la división por 0; el logaritmo
neperiano ln|
x
| es la integral de
x
-1 = 1/
x
para cualquier
x
0). Laintegración suele ser
más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se
pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).
Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea
A
el área de
la región delimitada por la curva de una función
y
=
f
(
x
) y por el eje
x,
para
a
x
b.
Para
simplificar, se asume que
f
(x
) 0 entre
a
y
b.
Para cada
x
a ,
sea
L
(
x
) el área de la región a
la izquierda de la
x,
así es que hay que hallar
A
=
L
(
b
). Primero se deriva
L
(
x
). Si
h
es una
pequeña variación en la
x,
la región por debajo de la curva entre
x
y
x
+
h
es
aproximadamente un rectángulo de altura
f
(
x
) y anchura
h
(véase figura 3); el
correspondienteincremento
k
=
L
(
x
+
h
)-
L
(
x
) es por tanto, aproximadamente,
f
(
x
)
h ,
por lo que
k/h
es, aproximadamente,
f
(
x
). Cuando
h
0 estas aproximaciones
tienden hacia los valores exactos, así es que
k/h
f
(
x
) y por tanto
L
'(
x
)=
f
(
x
), es
decir,
L
es la integral de
f.
Si se conoce una integral
F
de
f
entonces
L
=
F
+
c
paracierta
constante
c.
Se sabe que
L
(
a
) = 0 (pues el área a la izquierda de la
x
es cero si
x
=
a
),
con lo que
c
=
-F
(
a
) y por tanto
L
(
x
)=
F
(
x
)-
F
(
a
) para todas las
x
a.
El área
buscada,
A
=
L
(
b
)=
F
(
b
)-
F
(
a
), se escribe.
Nombre: Jenniffer Hurtado B.
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
Éste es elteorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que
f
sea continua
entre
a
y
b ,
y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje
x
es
negativa, pues
f
(
x
) < 0. (Continuidad significa que
f
(
x
)
f
(
x
0) si
x
x
0, de manera que
f
es
una curva sin ninguna interrupción).
El área es una integral definida de
f
que es un número, mientras...
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
Aplicación del cálculo Integral en diferentes
campos de la ingeniería
Introducción
Es común en todas las ramas de la ingeniería el uso del cálculo integral y diferencial, ya
que su uso facilita la comprensión de fenómenos que necesitan una determinación
numérica, ya sea para el cálculo de áreas, velocidades,resistencia y fuerzas
distribuidas.
Objetivo General:
Establecer la importancia y la aplicación que tiene el cálculo integral
en los campos de la ingeniería
Calculo Integral
El cálculo integral se basa en el proceso inverso de la derivación, llamado integración.
Dada una función
f,
se busca otra función
F
tal que su derivada es
F
'=
f;
F
es la integral,
primitiva o anti-derivadade
f,
lo que se escribe
F
(
x
)=
f
(
x
)
d x
o simplemente
F
=
f
dx
(esta notación se explica más adelante). Las tablas de derivadas se pueden utilizar
para la integración: como la derivada de
x
2 es 2
x,
la integral de 2
x
es
x
2. Si
F
es la
integral de
f,
la forma más general de la integral de
f
es
F
+
c,
en donde
c
es una
constante cualquiera llamadaconstante de integración; esto es debido a que la
Nombre: Jenniffer Hurtado B.
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
derivada de una constante es 0 por lo que (
F
+
c
)' =
F
'+
c
'=
f
+0=
f.
Por ejemplo,
2
xdx
=
x
2+
c.
Las reglas básicas de integración de funciones compuestas son similares a las de la
diferenciación. La integral de la suma (o diferencia) esigual a la suma (o diferencia) de
sus integrales, y lo mismo ocurre con la multiplicación por una constante. Así, la
integral de
x
= ½·2
x
es ½
x
2, y de forma similar
xm dx
=
xm
+1/(
m
+ 1) para
cualquier
m
-1 (no se incluye el caso de
m
= -1 para evitar la división por 0; el logaritmo
neperiano ln|
x
| es la integral de
x
-1 = 1/
x
para cualquier
x
0). Laintegración suele ser
más difícil que la diferenciación, pero muchas de las funciones más corrientes se
pueden integrar utilizando éstas y otras reglas (ver la tabla).
Una aplicación bien conocida de la integración es el cálculo de áreas. Sea
A
el área de
la región delimitada por la curva de una función
y
=
f
(
x
) y por el eje
x,
para
a
x
b.
Para
simplificar, se asume que
f
(x
) 0 entre
a
y
b.
Para cada
x
a ,
sea
L
(
x
) el área de la región a
la izquierda de la
x,
así es que hay que hallar
A
=
L
(
b
). Primero se deriva
L
(
x
). Si
h
es una
pequeña variación en la
x,
la región por debajo de la curva entre
x
y
x
+
h
es
aproximadamente un rectángulo de altura
f
(
x
) y anchura
h
(véase figura 3); el
correspondienteincremento
k
=
L
(
x
+
h
)-
L
(
x
) es por tanto, aproximadamente,
f
(
x
)
h ,
por lo que
k/h
es, aproximadamente,
f
(
x
). Cuando
h
0 estas aproximaciones
tienden hacia los valores exactos, así es que
k/h
f
(
x
) y por tanto
L
'(
x
)=
f
(
x
), es
decir,
L
es la integral de
f.
Si se conoce una integral
F
de
f
entonces
L
=
F
+
c
paracierta
constante
c.
Se sabe que
L
(
a
) = 0 (pues el área a la izquierda de la
x
es cero si
x
=
a
),
con lo que
c
=
-F
(
a
) y por tanto
L
(
x
)=
F
(
x
)-
F
(
a
) para todas las
x
a.
El área
buscada,
A
=
L
(
b
)=
F
(
b
)-
F
(
a
), se escribe.
Nombre: Jenniffer Hurtado B.
Fecha: 10/Dic/2014
Cálculo II
Tutoría Primer Parcial
Éste es elteorema fundamental del cálculo, que se cumple siempre que
f
sea continua
entre
a
y
b ,
y se tenga en cuenta que el área de las regiones por debajo del eje
x
es
negativa, pues
f
(
x
) < 0. (Continuidad significa que
f
(
x
)
f
(
x
0) si
x
x
0, de manera que
f
es
una curva sin ninguna interrupción).
El área es una integral definida de
f
que es un número, mientras...
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