Aplicación Geométrica de la Derivada
o
e
Alvaro Bustos
Noviembre 2006
Dafne Ib´~ez
an
´
Indice
1. Introducci´n
o
2
2. Interpretaci´n Geom´trica de la Derivada
o
e
3
3. M´ximos y M´
a
ınimos
4
4. Monoton´ y Concavidad
ıa
6
5. M´ximos y M´
a
ınimos Locales
9
6. Conocimiento de las Funciones a trav´s de la Derivada
e
11
7. Teorema delValor Medio
14
1
1.
Introducci´n
o
Algunas de las aplicaciones m´s importantes del c´lculo diferencial son los problemas de
a
a
optimizaci´n, en los cuales se nos pide la manera ´ptima de hacer algo. Estos problemas se
o
o
pueden reducir a encontrar los valores m´ximo y m´
a
ınimo de una funci´n.
o
Para esto, se puede utilizar las herramientas que la Derivada nos ofrecepara determinar los
intervalos de crecimiento y decrecimiento y la concavidad de la funci´n que se estudia.
o
Para la elaboraci´n de este trabajo se recurri´ a las fuentes [1], [2], [3] y [5], los que pueden
o
o
utilizarse para un estudio m´s acabado de la materia que trata este apunte.
a
Tambi´n fueron de gran ayuda nuestros apuntes personales de la asignatura de C´lculo I, los
e
a
quesirvieron para dar forma a este trabajo.
2
2.
Interpretaci´n Geom´trica de la Derivada
o
e
Consideremos la curva y = f (x). Tracemos la recta secante a la curva que pasa por los puntos
(a, f (a)) y (a + h, f (a + h)), con h positivo y fijo.
y
y = f (x)
f (a + h)
f (a + h) − f (a)
α
f (a)
x
a
a+h
h
Esta recta secante forma un ´ngulo α(h) con la parte positivadel eje x, cuya tangente es
a
f (a + h) − f (a)
h
Si hacemos tender h a 0, la recta secante va transform´ndose en una recta que tiende a tocar a la
a
curva solamente en el punto (a, f (a)).
tan(α(h)) =
La pendiente de esta recta, que es tangente a la curva en el punto (a, f (a)) es:
f (a + h) − f (a)
= f ′ (a)
h→0
h
mtan(α) = l´
ım
Si este l´
ımite existe, se llama derivadade la funci´n f evaluada en el punto a; y la funci´n se
o
o
dice derivable en a
3
3.
M´ximos y M´
a
ınimos
Definici´n 1 Una funci´n f tiene un m´ximo absoluto (o m´ximo global) en c si
o
o
a
a
f (c) ≥ f (x) para todo x en D, donde D es el dominio de f . El n´mero f (c) se llama valor
u
m´ximo de f en D. An´logamente, f tiene un m´
a
a
ınimo absoluto (o m´
ınimo global) enc si
f (c) ≤ f (x) para todo x en D; el n´mero f (c) se denomina valor m´
u
ınimo de f en D. Los valores
m´ximo y m´
a
ınimo se conocen como los valores extremos de f [3]
- La cuesti´n de la existencia. ¿f tiene un valor m´ximo (m´
o
a
ınimo)? La respuesta depende del
conjunto D. Consideremos la funci´n f (x) = 1/x en D = ]0, ∞[. f no tiene valor m´ximo ni
o
a
m´
ınimo. Pero lamisma funci´n en el intervalo [1, 3] tiene un valor m´ximo, que es f (1) = 1; y un
o
a
valor m´
ınimo, f (3) = 1
3
4
3
2
f (x) =
1
x
1
2
1
3
4
La respuesta tambi´n depende del tipo de funci´n. Consideremos la funci´n definida por tramos
e
o
o
g(x) =
x
si 1 ≤ x < 2
x − 2 si 2 ≤ x ≤ 3
En D = [1, 3], g no tiene valor m´ximo (se acerca arbitrariamente a 2 peronunca lo alcanza). Sin
a
embargo, g tiene el valor m´
ınimo g(2) = 0
4
3
2
1
y = g(x)
1
2
3
Para dar la respuesta justa a esta pregunta, tenemos el siguiente
Teorema 1 (Existencia de m´ximo y m´
a
ınimo) Si f es cont´
ınua en un intervalo cerrado [a, b],
entonces f alcanza un valor m´ximo y un valor m´
a
ınimo en ese intervalo. [5]
- ¿En d´nde se presentan estosvalores extremos? Por lo com´n, la funci´n a estudiar
o
u
o
′
tendr´ como dominio un intervalo I. Si c es un punto en el que f (c) = 0, lo llamamos punto
a
estacionario. A menudo, los valores extremos aparecen en los puntos estacionarios. Si c es un punto
´
interior de I, en donde f ′ no exista, decimos que c es un punto singular. Este es un punto en
donde la gr´fica de f tiene una...
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