Aplicación Inyectiva y Sobreyectiva (Biyectiva)

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen unúnico origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.
En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicacionessobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.
Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número deelementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:
Ejemplo

en el diagrama de la figura:
todos los elementos de Y, quetienen origen, tienen un único origen, esto hace que la aplicación sea inyectiva
todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Si tomaremos por conjuntoinicial el conjunto de los números naturales:

y por conjunto final el de los números naturales pares:

Podemos ver que la relación


Por el que a cada número natural x de X, le asociamos unnúmero par 2x de Y, se cumple:
1. f: es una aplicación, dado que a cada uno de los valores x de X le corresponde un único valor 2x de Y.
2. esta aplicación es inyectiva dado que a cada número par 2x deY le corresponde un único valor x de X.
3. y es sobreyectiva porque todos los números pares tienen un origen
Esto nos permite afirmar que hay el mismo número de números naturales que de númerosnaturales pares, se da la paradoja de que los números naturales pares en un subconjunto propio de los números naturales, esta circunstancia solo se da con los conjuntos infinitos.
Segundo ejemploTomando el conjunto de pinceles como conjunto inicial:
, , ,
y el de caras como conjunto final:
, , ,
La correspondencia que asocia cada pincel con la cara de su mismo color es...