Aplicaiones de limites

Aplicaciones de límites en diversas funciones matemáticas Los límites tienen muchas aplicaciones, una de ellas se ejemplifica en las funciones Homográficas cuya ecuación canónica puede escribirse como: De las que tenemos que tenemos la definición de asíntotas (horizontal, vertical y oblicua) cuya explicación se encuentra en dichas funciones.Cuando ellímite (de x tendiendo a un valor que depende de la función, por eso la llamamos "a") por izquierda y por derecha tiende a infinito; característica que define a la asíntota vertical.  Cuando el límite (de x tendiendo a infinito por izquierda "– " y por derecha "+ ") tiende a un valor que depende de la función, por esola llamamos "b"; característica que define a la asíntota horizontal. Si a = 0 y b = 0, podemos reducir a los conocidos Otra aplicación de límites podemos hallarlas en las ecuaciones exponenciales de tipo que nos permitirá hallar el valor de e, la base de los logaritmos neperianos o naturales.Es de destacar que el intervalo [–1, 0] nopertenece al dominio de la función (queda en ustedes averiguar por qué). A medida que x se hace más grande, tiende a infinito positivo (x ) la imagen "se acerca a un valor" 2,718281828 ... (número irracional) que se lo denomina e. De igual manera, si tomamos valores de x cada vez más chiquitos, tiende a infinito negativo (x ) la imagen también "se acerca al mismo valor" e.Otra aplicaciónsimilar podemos hallarla en las funciones cuya ecuación exponencial es del tipo f (x) = (1 + x)1/x. Nuevamente el dominio está restringido, en este caso, a valores mayores a – 1. Si hacemos que x tienda a cero, por izquierda y por derecha, el valor del límite (las imágenes que obtenemos al resolver la ecuación con cada valor de x elegido)  también dará como resultado e.¿Cómo resolver un ejercicio delímite?Generalmente los límites pueden hallarse fácilmente, pero pueden aparecer indeterminaciones, o sea, cuantas que matemáticamente no tienen solución. Las más comunes son 0/0 (cero sobre cero) e ∞/∞ (infinito sobre infinito) pero puede hallarse el 0 . ∞ (cero por infinito) ∞ ─ ∞ (infinito menos infinito) 1∞ (Uno elevado a la infinito, que aunque parezca difícil creerlo, no es uno). Para "salvar"estas indeterminaciones y hallar el verdadero valor que se halla escondido dentro de la operación del límite, necesitamos operar matemáticamente, aplicando diversos métodos, desde polinomios hasta logaritmos, inclusive aplicando derivadas (que posiblemente aún no hayas visto). Veremos un ejemplo básico de cada uno de los casos que se te puedan presentar y trataré de explicarlo lo más claroposible... pero como siempre, luego necesitas practicar para poder "dominar" este tema. |
Límite tipo 0/0
Empecemos por un limite de polinomios. Para poder resolver y "salvar" la indeterminación lo que necesitas es factorizar el polinomio (tanto el numerador como el denominador) para poder simplificar el binomio que hace cero tanto el numerador (arriba) como el denominador (abajo)
Pasemos alejercicio.    
Ahora debemos  ver que el limite sea una indeterminación.
Reemplazamos cada x por el valor al que tiende, 1, y hacemos las cuentas para asegurarnos que tanto el numerador como el denominador nos den cero.
Este procedimiento te evitará trabajar de más (que es lo que todo estudiante desea evitar... :-) )

Ahora procedamos a factorizar ambos polinomios para posteriormentesimplificar el binomio que nos hace cero arriba y abajo. Ojo hasta que no simplifiques ambos seguirán dando como resultado cero, por lo que es indispensable "simplificar" para resolver el ejercicio.

Ahora sólo tenemos que reemplazar x por el valor al que tiende y hallar el verdadero valor del límite.

Fíjense que cada vez que reemplazamos x por su valor, no escribimos lim, ya que sólo se escribe...