AplicDeriv

MATEMÁTICA I, INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
CICLO 02 2012
Sección 03. Prof. Ing. Marta Lidia Merlos Aragón

HOJA DE EJERCICIOS ADICIONALES
APLICACIONES DE LA DERIVADA
PARTE I: SOBRE RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL
1. Encuentre el área de los triángulos delimitados entre los ejes coordenados y las
rectas tangentes a la curva f ( x) 

1
. Nota: Utilice un punto general con
x

coordenadas P(x0,y0), verfigura adjunta. R/ 2

2. Localizar

que la gráfica de la ecuación
25x  16y  200x  160y  400  0 tiene recta tangente horizontal y normal
2

los

puntos

en

los

2

horizontal. R/ Recta tangente horizontal en (-4,0) y (4,0). Recta normal
horizontal en (0,5) y (-8,5)
3. Encontrar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a la elipse definida

x2 y 2

 1 que pasan por el punto P(4,0).4
9
3 3
3
3 3
3
R/ y 
 x - 1  y 
 x - 1
2
2
2
2
por

4. Encontrar un polinomio de tercer grado P(x)  Ax3  Bx2  Cx  D tangente a la
recta y  14x  13 en el punto P1(1,1) y normal a la recta y 
P2(-1,-3). R/ P(x)  2x 3  4x 2  5

1
5
x  en el punto
2
2

5. Para construir una autopista es necesario rellenar una parte del valle donde los
declives (pendientes) son 9% y 6% (ver figuraadjunta). La parte superior de la
región rellenada tendrá la forma de un arco parabólico que es tangente a las dos
pendientes en los puntos A y B, ubicados a una distancia horizontal de 1000 m.
Suponga que se trabajará con un sistema de ejes coordenados en el cual el origen
se encuentra ubicado en el punto de intersección entre las dos pendientes.
Determine:
a) Una función cuadrática y  ax2  bx c con 500  x  500 que describa la
parte superior de la región rellenada. R/ y 

3
3
75
x2 
x
40000
200
4

b) ¿Cuál será el punto más bajo de la autopista terminada? ¿Estará
directamente sobre el punto donde se juntan las dos pendientes? R/ Punto
mínimo (100,18)

PARTE II: SOBRE VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
1. En la figura adjunta se muestra la gráfica de una función posición, que representa
ladistancia recorrida por una partícula, en metros, que se mueve durante 10 s. A
partir de ella, elaborar un boceto de la función de velocidad correspondiente.
Además ¿cómo esperaría que fuera la gráfica de la función aceleración? Explique
su respuesta.

2

2. La ecuación de posición de una partícula en movimiento rectilíneo horizontal es

1
2
5
S(t )  t 4  t 3  t 2  6t  2 . Determinar:
4
3
2a) Los intervalos de tiempo en los cuales la partícula se desplaza hacia la
derecha y aquellos en los cuales se desplaza hacia la izquierda. R/ Hacia
la derecha 0,1   3,  . Hacia la izquierda 1,3 .
b) Si la rapidez de la partícula está aumentando o disminuyendo en t=0.5 y
t=2.5. R/ En t=0.5 s la partícula está frenando y en t=2.5 s la partícula
está acelerando.
c) El tiempo y la posicióndel objeto cuando alcanza su velocidad mínima. R/
t=2.12 s y S=-1.82 m.
PARTE III: SOBRE RAZÓN DE CAMBIO
1. La temperatura T de los alimentos colocados en un congelador, en °F, es:

T

700
t  4t  10
2

Donde t es el tiempo en horas. A partir de está ecuación calcular:
a) El cambio promedio en la temperatura entre 1 y 2 horas de refrigeración. R/
-7 °F/h.
b) La razón de cambio instantánea parat=1 h y t=2 h. R/ Para t=1 h, razón
de cambio instantánea -8.8 °F/h. Para t=2 h, razón de cambio
instantánea -8.18 °F/h.

3

2. El costo C de pedido y transporte de elementos utilizados para la fabricación de un
producto es:

x 
100
C  100  2 
x  30 
x

x 1

Donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos.
Encontrar el ritmo de cambio de C respecto a x cuando:a) x=10, b) x=15 y c)
x=20. ¿Qué implican estos ritmos de cambio cuando el tamaño del pedido
aumenta? R/ a) -18.125 b) -4.44 c) -1.13
PARTE IV: SOBRE RAZONES AFINES
1. Una persona de 6 pie de estatura camina hacia un edificio a una velocidad de 4
pie/s. Si hay una lámpara en el piso a 40 pie del edificio ¿qué tan rápido disminuye
la sombra del hombre proyectada en el edificio cuando él está a 30...