Apolonio

TANGENCIAS: “EL PROBLEMA DE APOLONIO”

El problema de Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), es el siguiente:

“Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres”.

En total hay diez casos:
1. Tres puntos
2. Tres rectas
3. Dos puntos y una recta
4. Dos rectas y un punto
5. Dos puntos y unacircunferencia
6. Dos circunferencias y un punto
7. Dos rectas y una circunferencia
8. Dos circunferencias y una recta
9. Un punto, una recta y una circunferencia
10. Tres circunferencias
Los dos primeros casos, los más sencillos, aparecen en el Libro IV de los Elementos de Euclides. Los casos 3, 4, 5, 6, 8 y 9 están en el Libro I de la obra Tangencias (o Contactos) de Apolonio,mientras el 7 y el 10 ocupan el Libro II de esta obra.

Tres puntos

Trazar una circunferencia que pase por tres puntos dados.
Dicho con otras palabras, consiste en hallar la circunferencia circunscrita a un triángulo. El centro de dicha circunferencia se obtiene fácilmente, como intersección de las mediatrices de dos de los lados de ese triángulo.
En el caso de que los tres puntos dados esténalineados el problema carece de solución.



Tres rectas

Trazar una circunferencia que sea tangente a tres rectas dadas.

A) Supongamos en primer lugar que las tres rectas dadas se cortan dos a dos formando un triángulo. Entonces hay cuatro circunferencias a las tres rectas: son las tangentes al triángulo, tres de las cuales son exteriores y una es interior. Para obtenerlas, basta hallarlas bisectrices interiores e interiores de los ángulos del triángulo, produciéndose los circunferencias buscadas en las intersecciones de estas rectas.



B) En el caso de que dos de las rectas dadas sean paralelas y la tercera sea secante a ambas, se obtienen dos soluciones: trazamos la paralela media a las dos rectas paralelas dadas y hallamos la intersección de esta paralela con lasbisectrices de los ángulos formados con la recta secante.


Dos puntos y una recta

Dados dos puntos y una recta, hallar una circunferencia que pase por los dos puntos y sea tangente a la recta.

A) Si los dos puntos dados A y B están en una recta paralela a la recta dada, el punto de tangencia con la recta se obtendrá al cortar con la mediatriz del segmento AB. Ahora sólo se trata dehallar la circunferencia que pasa por tres puntos:


B) Otra posibilidad es que, siendo los puntos exteriores a la recta dada, estén ambos en el mismo lado y no estén en una paralela a dicha recta:
Análisis: La recta AB es el eje radical de las dos circunferencias buscadas, y también de cualquier par de circunferencias que pasen por A y B. Cualquier punto M del la recta AB tendrá la mismapotencia respecto de dos de esas circunferencias, es decir las tangentes desde M medirán lo mismo. Si tomamos como M el punto de intersección de AB con la recta dada, entonces M será el punto medio de la tangente común PQ a las dos circunferencias buscadas. La distancia MP = MQ será igual a la longitud de la tangente MT de la tangente des M a cualquier circunferencia que pase por A y B, por ejemplola cirucunferencia con diámetro AB.
Construcción: Unimos los puntos A y B dados y prolongamos hasta cortar a la recta dada en M. Trazamos la circunferencia con diámetro AB, y seguidamente una tangente a ésta desde M. Siendo T el punto de tangencia, con centro M y radio MT trazamos una semicircunferencia que corta a la recta dada en dos puntos P y Q. Por estos puntos pasan las circunferenciasbuscadas, habiendo entonces en este caso dos soluciones. Los centros de dichas circunferencias se encontrarán trazando perpendiculares por P y Q a la recta dada y hallando su intersección con la mediatriz de AB.


C) Por último, consideremos el caso en el que uno de los dos puntos, digamos B, está en la recta dada.
Para obtener el centro de la única circunferencia posible, hallamos la...