Aporte Y Reflexiones Sobre Las Matematicas

Postítulo “Enseñanza de la Matemática
para el nivel primario (EGB1 y EGB2)”
El sistema de numeración: segunda parte
Lerner-Sadovsky
En Parra y Saiz (comp): Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires.
Paidós.
III. De las relaciones entre lo que saben los niños y la organización posicional del sistema de numeración
Según afirman los niños, un número es mayor que otro“porque tiene más cifras” o “porque el primero es el que manda”. El saber que así se expresa, ¿se refiere a
propiedades de los números o a propiedades de la notación numérica?
La pregunta que antecede puede resultar extraña: estamos tan acostumbrados
a convivir con el lenguaje numérico que en general no distinguimos lo que es propio
de los números como tales –es decir, del significado– de laspropiedades del sistema
que usamos para representarlos. Sin embargo, esta distinción es necesaria.
En efecto, mientras que las propiedades de los números son universales, las leyes que rigen los distintos sistemas de numeración producidos por la humanidad no lo
son.
“Ocho es menor que diez” es una afirmación válida en cualquier cultura, independientemente del sistema de numeración que en ella seutilice. Pero si esta afirmación se justifica alegando que “ocho tiene una sola cifra y diez tiene dos”, se está esgrimiendo un argumento que es específico de los sistemas posicionales, ya que en los
no-posicionales la cantidad de cifras no está relacionada con el valor del número.
Ahora bien, ¿qué tiene el sistema posicional que los otros no tengan? La posicionalidad, justamente. Ella es laresponsable de la relación cantidad de cifras-valor
del número; de ella depende también la validez de “el primero es el que manda”.
En nuestro sistema de numeración –como es sabido–, el valor que representa
cada cifra se obtiene multiplicando esa cifra por una cierta potencia de la base. Si un
número tiene más cifras que otro, necesariamente intervendrán en su descomposición
potencias de diez demayor grado que las involucradas en el otro y, en consecuencia,
será mayor.
Por otra parte, cuando se trata de dos números de la misma cantidad de cifras
–excepto en el caso de que los dos empiecen con la misma cifra– es la primera la que
determina cuál es el mayor, porque esa cifra indica por cuánto hay que multiplicar la
potencia de grado más alto que “interviene” en el número. Por razonessimilares, si
las primeras cifras fueran iguales, la responsabilidad de determinar el número mayor
sería transferida a la cifra contigua, y así sucesivamente.
El contraste con sistemas no-posicionales contribuye a aclarar la cuestión.
Veamos, por ejemplo, lo que ocurre en el sistema de numeración egipcio (5000 a. C.),
que era aditivo y disponía de símbolos sólo para representar las potenciasde 10. Así,
el número 3053 se anotaba:

En el sistema egipcio la cantidad de símbolos de un número no informa acerca
de su magnitud: para representar, por ejemplo, 9999 se utilizaban 36 símbolos, en
tanto que 10.000 se anotaba con uno solo.
Además, cada símbolo representaba siempre el mismo valor, ocupara el lugar
que ocupara y, si bien una convención establecía cierto orden de anotación,esta convención podía alterarse sin que por ello cambiara la interpretación del número representado.

Es indudable que, si nuestros entrevistados hubieran sido niños egipcios del
5000 a. C., hubiéramos obtenido resultados muy diferentes. Como se trata de seres
nacidos en los umbrales del siglo XXI, inmersos en una cultura digitalizada, sus conceptualizaciones apuntan a la organizaciónposicional de nuestro sistema de numeración.
Sin embargo, como ya vimos, no todo es posicional en la vida de los niños. La
numeración hablada viene a interponerse en el camino de la posicionalidad y da origen a producciones “aditivas”. Estas producciones son fácilmente interpretadas no
sólo por los adultos, sino también por los compañeros que ya escriben convencionalmente los números en cuestión,...