aportes del magisterio de la iglesia a la humanidad

INTEGRALES TRIPLES.

y

x

1

f (x, y, z) dzdydx, dibujar la regi´n de integraci´n y escribir
o
o

46. Dada la integral
0

0

0

la integral de todas las formas posibles.

Soluci´n
o
z

y

x

Teniendo en cuenta la gr´fica adjunta, si D1 , D2 y D3 son las proyecciones sobre los tres
a
planos coordenados, las diferentes formas de escribir la integral son lassiguientes:

y

dxdy
D1

1

f dz

=

0

0
x

dxdz
D2

=

z

dz
0

1
D3

y

0
x

z

1

0

y

x

0

dz
0

x

dz
0
1

1

f dx =

f dz,
0

dx

1

dz

y

dx
y

f dy =

y

1

dy
0

z

dy
0

1

f dz =

dx

1

f dx =

y

dy
0
1

1

f dy

dydz

x

dx

f dy,
z
1

dy
z

f dx.
y

47. Calcular lassiguientes integrales triples:
(x2 + y 2 ) dxdydz, donde V est´ limitado por las superficies x2 + y 2 = 2z,
a

i)
V

z = 2.
(1+z 2 ) dxdydz, siendo W la regi´n limitada por 2az = x2 +y 2 , x2 +y 2 −z 2 =
o

ii)
W

a2 , z = 0.

Soluci´n
o
1

i) La regi´n de integraci´n es el interior del paraboloide limitado por el plano z = 2.
o
o
z

y
x

Como la proyecci´n de dicharegi´n sobre el plano z = 0 es el c´
o
o
ırculo C : x2 + y 2 ≤ 4, la
integral triple se puede descomponer entonces como
2

I=

(x2 + y 2 ) dz.

dxdy
(x2 +y 2 )/2

C

Al escribir la integral en coordenadas cil´
ındricas, se obtiene:
2π

I=

2

dv
0

2

2

u2 dz = 2π

u du
u2 /2

0

u3 · (2 − u2 /2) du =
0

16π
.
3

ii) La intersecci´n del paraboloide 2az =x2 + y 2 con el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2
o
da la circunferencia x2 + y 2 = 2a2 situada en el plano z = a. Esto indica que ambas
superficies son tangentes a lo largo de dicha circunferencia; por ello deducimos que la regi´n
o
de integraci´n est´ limitada superiormente por el paraboloide, inferiormente por el plano
o
a
z = 0 y lateralmente por el hiperboloide (en la figura se muestrandos vistas de la regi´n
o
de integraci´n).
o

z

z

y

x

x

y

Debemos descomponer la integral en dos sumandos pues, si (x, y) est´ en el c´
a
ırculo de centro
el origen y radio a, entonces z est´ comprendido entre el plano z = 0 y √ paraboloide
a
el
2az = x2 + y 2 y, si (x, y) est´ entre el c´
a
ırculo anterior y el c´
ırculo de radio a 2, entonces z
est´ comprendidoentre el hiperboloide x2 + y 2 − z 2 = a2 y el paraboloide anterior.
a
La f´rmula que se obtiene es pues
o
x2 +y 2
2a

I

=

dxdy
x2 +y 2 ≤a2

(1 + z 2 ) dz

0
x2 +y 2
2a

+
a2 ≤x2 +y 2 ≤2a2

2

dxdy √

x2 +y 2 −a2

(1 + z 2 ) dz.

Para resolver las integrales, las escribimos en coordenadas cil´
ındricas. As´
ı,
I

dv

(1 + z ) dz +
0

0
3

0

0

√a 2

2π
2

u du

dv

=

u2 /2a

a

2π

u2 /2a

u du
a

√

(1 + z 2 ) dz
u2 −a2

= · · · = (10 + a2 )πa /30.
[Todas las integrales a resolver son casi inmediatas.]

(1 + x + y + z)−3 dxdydz, donde S es el tetraedro limitado por los tres

48. Calcular
S

planos coordenados y el plano de ecuaci´n x + y + z = 1.
o

Soluci´n
o
Si llamamos D a la proyecci´n de laregi´n de integraci´n sobre el plano XY , podemos
o
o
o
escribir la integral como
1−x−y

(1 + x + y + z)−3 dz dxdy.

I=
D

0

Como, a su vez, D es el tri´ngulo de v´rtices (0, 0), (1, 0) y (0, 1), la integral se descompone
a
e
en las siguientes integrales iteradas:
1

I

=

1−x

dx
0

1−x−y

0
1

=

0
1−x

dx
0

0
1

=
0

(1 + x + y + z)−3 dz

dyy (1 + x + y)−2
dy
− +
8
2

x−1 1
1
1
5
− +
dx = ln 2 − .
8
4 2(1 + x)
2
16

49. Calcular los vol´menes de los cuerpos limitados por las siguientes superficies:
u
i) a2 = x2 + z 2 , x + y = ±a, x − y = ±a.
ii) z = x2 + y 2 , xy = a2 , xy = 2a2 , y = x/2, y = 2x, z = 0.
iii)
iv)

x
+
a

y
+
b

z
= 1, x, y, z ≥ 0.
c

x2
y2
z2
x2
y2
z2
+ 2 + 2 = 1, 2 + 2...