Apoyo Al Tema De Lmites

1. DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE (Larson, Hostetler, & Edwards, 2006)
Considérese que se desea dibujar la gráfica de la función:
𝑓(𝑥) =

𝑥

,
√𝑥 + 1 − 1

dando valores a 𝑥, calculando 𝑓(𝑥), construyendo una tabla, para
seguidamente proceder a graficar los puntos.
Obtendríamos como resultado la Tabla 1 y su correspondiente gráfica de la
Figura1.
𝑥
𝑓(𝑥)

-1
1

0
?

1
2.4142

2
2.7321

3
3

Tabla1

Figura 1

Al hacer los cálculos inmediatamente notamos algo fuera de lo normal en
𝑥 = 0; la función no se puede calcular (tenemos división entre cero),
contradiciendo el sentido común que nos muestra la gráfica continua de la
función. Concluimos acertadamente que la gráfica tiene una especie de
ruptura en 𝑥 = 0, es decir, es discontinua en 𝑥 = 0.
Si nos invadiera la curiosidad buscaríamosvalores de la función “cercanos”
a 𝑥 = 0, y construimos la Tabla 2,

x se aproxima a 0 por la izquierda

𝑥
𝑓(𝑥)

-0.01
1.995

-0.001
1.9995

x se aproxima a 0 por la derecha

-0.0001
1.99995

0
?

0.0001
2.00005

f(x) se aproxima a 2 por la izquierda

0.001
2.0005

0.01
2.005

f(x) se aproxima a 2 por la derecha

Tabla 2

Se concluye que la función toma valores cada vez más próximos a 2 sin serigual a dos en el punto en cuestión.
Se puede hacer lo mismo para otros valores del dominio, pero esta función
en particular presenta ese comportamiento sólo en 𝑥 = 0. Ejemplo, en 𝑥 = 2
𝑥
𝑓(𝑥)

1.99
2.7292

1.999
2.7318

2
2.7321

2.001
2.7323

2.01
2.7349

Tabla 3

La función no presenta problemas de discontinuidad en 𝑥 = 2, por ello se
puede calcular directamente en el punto.
Pero lo que se desearesaltar es el proceso que se ha llevado a cabo para
llegar a esta conclusión: el de “aproximarnos” cada vez más a un valor del
dominio de la función yver a que valor se aproximan las correspondientes
imágenes. Este proceso de acercamiento lo llamaremos búsqueda del
límite de la función y lo representamos como
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿,

𝑥→𝑐

lo cual se interpreta como el valor L que toma 𝑓(𝑥) en la medida quevamos
calculando f en valores cada vez más próximos a c.
En palabras, L es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a c.
En nuestro ejemplo de presentación del tema podemos decir:
𝑥

lim

𝑥→0 √𝑥

mientras que,
lim

𝑥→2 √𝑥

+1−1

𝑥
+1−1

=2

= 2.7321

2. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Considérese que los límites de las funciones que se presentan a
continuación ya han sido calculados.
1. Límite de unaconstante
lim 𝑏 = 𝑏

𝑥→𝑐

2. Límite idéntico
lim 𝑥 = 𝑐

𝑥→𝑐

3. Límite de una potencia

lim 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑛

𝑥→𝑐

Si f y g son funciones con los límites:
lim 𝑓(𝑥) = 𝐿; lim 𝑔(𝑥) = 𝑀

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

4. Límite de la suma / diferencia
lim[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥) = 𝐿 ± 𝑀

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

5. Límite de la multiplicación por el escalar k
lim[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘 lim 𝑓(𝑥) = 𝑘𝐿

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

6. Límite del productolim[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim 𝑓(𝑥) lim 𝑔(𝑥) = 𝐿𝑀

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

7. Límite del cociente

𝑥→𝑐

lim 𝑓(𝑥) 𝐿
𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐
=
=
𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)
lim 𝑔(𝑥) 𝑀
lim

𝑥→𝑐

8. Límite de la potencia

𝑛

lim[𝑓(𝑥)]𝑛 = [lim 𝑓(𝑥)] = 𝐿𝑛

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

Ejemplo 1: Calcular el límite:

lim (𝑥 3 − 5𝑥 + 6)

𝑥→1

Por Propiedad 4 (P4)
= lim 𝑥 3 − lim 5𝑥 + lim 6
𝑥→1

𝑥→1

Por P3, P5 y P1

𝑥→1

= 13 − 5 lim 𝑥 + 6
𝑥→1

Por P2
= 1 − 5(1) + 6
=2
Ejemplo 2: Calcular el límite:3

lim √𝑥 + 1

𝑥→4

Por P8
= [lim(𝑥 + 1)]

1⁄
3

𝑥→4

Por P4
= [lim 𝑥 + lim 1]
𝑥→4

1⁄
3

𝑥→4

Por P2 y P1
1⁄
3

= [4 + 1]
3

= √5
Ejemplo 3: Calcular el límite:

5𝑥
𝑥→7 (𝑥 + 2)4
lim

Por P7
=

lim 5𝑥

𝑥→7

lim(𝑥 + 2)4

𝑥→7

Por P5 y P8
=

5 lim 𝑥
𝑥→7

[lim(𝑥 + 2)]

4

𝑥→7

Por P2 y P4
5(7)

=

[lim 𝑥 + lim 2]
𝑥→7

𝑥→7

Por P2 y P1
=

35
[7 + 2]4

4

=

35
94

Nótese que en todos los casos eslímite es igual al valor de la función
sustituida directamente.
3. TÉCNICAS EN EL CÁLCULO DE LÍMITES
Los problemas de resolución de límites que causan interés son aquellos
donde al sustituir directamente en la función, se obtiene indeterminación
(división entre cero), es decir, límites en puntos de discontinuidad, como en
el ejemplo de inicio del Módulo.
Dado que hacer cálculos de la...