Applicaciones de la integral

MOISES VILLENA MUÑOZ

Cap. 4 Aplicaciones de la Integral

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4.1 4.2 4.3 4.4 ÁREAS DE REGIONES PLANAS VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN LONGITUD DE UNA CURVA PLANA VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN

Objetivo: Se pretende que el estudiante calcule áreas de regiones planas generales, volúmenes de sólidos de revolución, longitud de una curva plana

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4.1 AREAS DE REGIONES PLANAS
4.1.1 ÁREA BAJO UNA CURVA En el capítulo anterior se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida. Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, unrectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

dA= hdx= f (x)dx

Por tanto, el área de la región plana es: A = 4.1.2 ÁREA ENTRE CURVAS

∫ f ( x)dx
a

b

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: dA = hdx = [ f ( x) − g ( x)]dx 66

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b

Entonces el área de la región plana esta dada por: A =

∫ [ f ( x) − g ( x)]dx
a

CONCLUSIÓN: Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos: 1. Dibuje las curvas dadas. 2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración. 3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo. 4. Defina la integral o lasintegrales para él área. 5. Evalúe la integral definida.
Ejemplo 1
⎧y = x + 4 ⎪ Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪y = x2 − 2 ⎩
SOLUCIÓN: PASO 1: Graficamos en un mismo plano y = x + 4 y y = x − 2
2

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

x + 4 = x2 − 2 x2 − x − 6 = 0 (x− 3)( x + 2) = 0 x=3 ∨ x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

A=

∫
−2

3

[(x + 4) − (x

2

− 2 dx

)]

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

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A=

∫
−2

3

[(x + 4) − (x

2

− 2 dx =

)]

∫
−2

3

[− x

2

+ x + 6 dx
3

]

⎞ ⎛ x3 x2 = ⎜− + + 6x ⎟ ⎟ ⎜ 32 ⎠ −2 ⎝ ⎞ ⎞ ⎛ (− 2 )3 (− 2 )2 ⎛ 33 3 2 + + 6(− 2 )⎟ = ⎜− + + 6(3) ⎟ − ⎜ − ⎟ ⎜ ⎜ 3 ⎟ 2 3 2 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 9 8 = −9 + + 18 − + 2 − 12 2 3 5 A= 6

Ejemplo 2
⎧ ⎪ y = x 3 − x 2 − 6x Calcular el valor del área de la región limitada por ⎨ ⎪y = 0 ⎩
SOLUCIÓN: PASO 1: Dibujamos y = x3 − x 2 − 6 x PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO3: Definimos el elemento diferencial.

x x2 − x − 6 = 0 x(x − 3)( x + 2) = 0 x=0 ∨ x=3 ∨

(

x3 − x 2 − 6 x = 0

)

x = −2

PASO 4: La integral definida para el área sería:

A=

∫
−2

0

[(x

3

− x − 6 x − (0) dx +
2

)

]

∫
0

3

[(0) − ( x

3

− x 2 − 6 x dx

]

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

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0 3

A=

∫ [(
−2 0

x 3 − x 2 − 6 x − (0) dx +
3

)

]

∫[
0 3

(0) − ( x 3 − x 2 − 6 x dx

]

=

∫
−2

[x

3

− x 2 − 6 x dx +
0

]

∫
0

[− x

+ x 2 + 6 x dx
3

]

4 3 2 ⎞ ⎛ ⎛ x4 x3 x2 ⎞ ⎟ + ⎜− x + x + 6 x ⎟ =⎜ − −6 ⎜ ⎜ 4 3 2 ⎟ 3 2 ⎟ ⎠0 ⎠ −2 ⎝ 4 ⎝

⎡ ⎛ (− 2)4 (− 2 )3 (− 2)2 = ⎢0 − ⎜ − −6 3 2 ⎢ ⎜ 4 ⎣ ⎝ 8 81 = −4 − + 12− + 9 + 27 3 4 253 A= 12

⎞⎤ ⎡⎛ 3 4 3 3 32 ⎟⎥ + ⎢⎜ − + +6 ⎟⎥ ⎢⎜ 4 3 2 ⎠⎦ ⎣⎝

⎤ ⎞ ⎟ − (0)⎥ ⎟ ⎥ ⎠ ⎦

4.1.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal El área del elemento diferencial será: dA = hdy = xdy = f ( y ) dy Entonces el área de la región plana es: A =

∫ f...